如何判断函数是否有界？

Question

就我而言，判断是否有界，就求函数在制定区间内是否最大值，于是就求导。这样做对吗？网上的做法不一样啊。

Answer 1

对，若函数f在闭区间上连续，则f在上有界，判断函数是否有界有三种方法：

1、理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

2、计算法：切分(a,b)内连续，limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。

3、运算规则判定：在边界极限不存在时，有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）有界 x 有界 = 有界。

4、函数极限判断：因为函数在开区间上连续，所以在开区间内部的任一闭区间上函数都有界。能不能再扩大到整个开区间上也有界，关键是看函数在右端点处的左极限和左端点处的右极限。

扩展资料

二元连续函数的有界性定理：

若二元函数在有界闭域上连续，则函数在上有界，即存在正数M，对于任意，有。

假设二元连续函数在有界区域D上是无界的。设D的直径为，选取D的一条直径，以该直径为边长，作一个正方形，使得D完全包含在该正方形中，然后分别连接该正方形两组对边的中点，则这两条连线会将该正方形四等分，而有界闭域D会被分为有限个小区域。

由于在有界闭域D上无界，则至少存在某个小闭域，使在该小闭域上是无界的，记该小闭域为，直径为，则，且 。

参考资料：百度百科—有界性定理

Answer 2

最常用的方法是看这个函数的值域是有限区间，则有界。另外，用有界函数的运算来判断。即两个有界函数的和，差，积是有界的。

1、理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

2、计算法：切分(a,b)内连续，limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。

相关概念

设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L），则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。

Answer 3

既然是在固定区间内求了那肯定是有界的。实际说的是在整个范围内求极值，当我们发现函数总是趋近一个上限一个下限时叫做有界函数。ps自己打的,可能有点不规范

追问

你的意思，是不是，用导数求极值和最大值不等于求上界或者下界，因为在一个区间里面端点处可能求得最大值？不对，这感觉也跟函数求最大值一样？也可以用中学的那套导数来求上界？

追答

说的有界函数实际上是在整个无穷范围内求边界的，类似于三角函数sin x的–1到1

追问

不是区间内求？而是无穷范围内求？确定了，我号记下来，谢谢

追答

是这样子的，区间内的肯定是有界的。无穷的就得分情况了。有界函数的充分条件为f(x)＜=|D|

Answer 4