关于【线性代数】【正惯性系数】

求证:对于任意两个实对称方阵A、B,那么A+B的正惯性系数不大于A与B的正惯性系数之和。

首先, 利用惯性定理可以不妨设A已经是合同标准型A=diag{I_p,-I_q,0}

然后把A拆成A1=diag{I_p,0,0}, A2=diag{0,-I_q,0}
那么对任何k都有A2+B的第k大特征值不超过B的第k大特征值(可以用Courant-Fischer极大极小定理证明)
所以A2+B的正惯性指数不超过B的正惯性指数

然后A1的后两块就没必要细分了, 只需划分成
I_p 0
0 0

A2+B相应地划分成
B1 B2^T
B2 B3

由Cauchy交错定理, B3的正惯性指数不超过A2+B的正惯性指数

再用一次Cauchy交错定理, A1+A2+B的正惯性指数不超过B3的正惯性指数+p追问

这个 拆成了A1 A2 这俩形式怎么能给定一个全为正一个全为负呢?

追答

合同变换的标准型以及惯性定理总知道的吧

追问

嗯 这个没有问题。。。

追答

既然A是标准型, 拆成A1+A2有什么问题呢

追问

拆是没有问题的 但是不能给定A1 A2的形式啊 如果A1合同型有p+1个1 1个-1 ,A2合同型有q+1个-1 1个1 呢?

追答

原问题里的矩阵是A和B
我现在只对A对角化并拆分, 没有要求A和B能同时合同对角化

温馨提示:内容为网友见解,仅供参考
第1个回答  2014-01-09
这个证明题很没意思
一个实对称矩阵他的正惯性性指数不会超过他的秩(这是关键,想到这个就很简单了)
又由秩的性质r(A+B)≤r(A)+r(B)
即可得证追问

这个证明不完善吧
如果A的正惯性指数为2 秩为4
B的正惯性指数为2 秩为4
A+B的正惯性指数为5也是有可能的啊 A+B的正惯性指数5≤8=4+4

关于【线性代数】【正惯性系数】
由Cauchy交错定理, B3的正惯性指数不超过A2+B的正惯性指数 再用一次Cauchy交错定理, A1+A2+B的正惯性指数不超过B3的正惯性指数+p

线性代数中,正惯性指数是什么?
正惯性指数,就是标准型中,主对角线上正数元素的个数。定理1 两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正,负惯性指数都相等.)定理2 实对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数.推论 ...

线性代数:正负惯性指数
正惯性指数+负惯性指数=秩 可以得知r(A)=1+1=2 因此化矩阵A为最简型后,得知a=2

正惯性系数是什么意思
所谓正惯性指数,简称正惯数,是线性代数里矩阵的正的特征值个数,也即是规范型里的系数"1"的个数。在实数域中,根据惯性定理,每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。如果设1的个数是p,-1的个数是q,那么给定(p,q)后,就确定了一个关于合同关系的等价类。数对(...

线性代数,怎么从这个式子看出正惯性指数和负惯性指数,求详解!
“特征值和正负惯性指数的关系:一个对称阵的正特征值的个数就是正惯性指数,负特征值的个数就是负惯性指数。”这个矩阵的三个特征值,有1个是正的,2个是负的,所以正惯性指数是1,负惯性指数是2。

线性代数 求正负惯性指标数的方法
化为标准型,看正平方的个数为正惯性指数,负平方的个数是负惯性指数 或者把二次型的矩阵的特征值求出,正的个数为正惯性指数,负的个数为福惯性指数

惯性定理线性代数里的惯性定理
在线性代数中,有一个重要的定理,被称为惯性定理。它涉及到二次型 f,即 f = xT Ax,其中 xT 代表 x 的转置。当二次型的秩 r 为 r 时,存在两个可逆变换,x = Cy 和 x = Pz,使得 f 可以分别表示为:1. f = k1y1^2 + k2y2^2 + ... + kr * yr^2,其中 k1, k2, .....

线性代数,正负惯性指数
正惯性指数2,负惯性指数是0。是这样的,你把二次型转化成一个矩阵;2 ,1, 1 1,2,-1 1,-1,2 解除这个矩阵的特征值,看特征值有几个是正数,有几个是负数,就分别对应正负惯性指数的个数。这里接的特征值分别是0,2,3,所以正惯性指数是2,负惯性指数是0.

线性代数。。。为什么呢
所以正惯性指数是(r+s)\/2,负惯性指数是(r-s)\/2。所以,二次型-f的正惯性指数是(r-s)\/2,负惯性指数是(r+s)\/2。f与-f合同,正惯性指数相等,负惯性指数相等,所以(r+s)\/2=(r-s)\/2,得s=0。排除CD选项。现在,二次型f的正、负惯性指数都是r\/2,所以r是偶数。答案是A。

线性代数里正惯性指数的问题
F = x1^2 - x1*x2 - x1*x3 + x2^2 - x2*x3 + x3^2 = (x1-x2\/2-x3\/2)^2 + (3\/4)* x2^2 -(3\/2)* x2*x3 + (3\/4)*x3^2 = (x1-x2\/2-x3\/2)^2 + (3\/4)* (x2-x3)^2 所以正惯性指数是 2.

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