函数性质的函数的最值问题

Answer 1

一次函数y=kx+b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．
例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．
大值a．
例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件
x+y+z=30，3x+y-z=50．
求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．
分析 题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．
解 从已知条件可解得
y=40-2x，z=x-10．
所以
u=5x+4y+2z
=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140．
又y，z均为非负实数，所以
解得10≤x≤20．
由于函数u=-x+140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120． 例3 已知x1，x2是方程
x-(k-2)x+(k+3k+5)=0
解 由于△=[-(k-2)]^2-4(k+3k+5)≥0，，所以二次方程有实根
3k+16k+16≤0，
例4 已知函数
有最大值-3，求实数a的值．
解 因为
的范围内分三种情况讨论．
-a+4a-1=-3
例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
解 设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积
S=xy，2≤X≤4．
易知CN=4-x，EM=4-y，且有
二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值
例6 设p>0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．
解 由题设知
f(p)=5，g(p)=25，
f(p)+g(p)=p+16p+13，
所以 p+16p+13=30，
p=1(p=-17舍去)．
由于f(x)在x=1时有最大值5，故设
f(x)=a(x-1)+5，a<0，
所以
g(x)=x+16x+13-f(x)
=(1-a)x+2(a+8)x+8-a．
由于g(x)的最小值是-2，于是
解得a=-2，从而
g(x)=3x+12x+10． 法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．
解 去分母、整理得
(2y-1)x+2(y+1)x+(y+3)=0．
△≥0，即
△=[2(y+1)]-4(2y-1)(y+3)≥0，
解得　-4≤y≤1．
时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．
说明 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．
解 将原函数去分母，并整理得
yx-ax+(y-b)=0．
因x是实数，故
△=(-a)-4·y·(y-b)≥0，
由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以
(y+1)(y-4)≤0，
即　y-3y-4≤0．　 ②
由①，②得
所以a=±4，b=3． 处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．
解 先估计y的下界．
又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．
说明 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：
但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．
例10 设x，y是实数，求u=x+xy+y-x-2y的最小值．
分析 先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．
又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．
例11 求函数
的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．