求1/√(1+x^2)的不定积分

Question

求1/√(1+x^2)的不定积分用第一类换元法，最好讲一下第一类换元法的技巧，谢谢了

Answer 1

令x=tanθ，-π/2<θ<π/2

即dx=secθ^2*dθ

则∫(1／√1+x^2)dx

=∫(1／√(1+tanθ^2)*secθ^2*dθ

=∫(1/cosθ)dθ

=∫[cosθ/(cosθ）^2]dθ

=∫1/[1-(sinθ)^2]d（sinθ)

=1/2*ln[（1-sinθ）/（1+sinθ)]+C

=ln[x+√(1+x^2)]+c（c为常数）

求1/根号(1+x^2) 的原函数就是求函数1/根号(1+x^2) 对x的积分。

求1/根号(1+x^2) 的原函数，用”三角替换”消掉根号(1+x^2)。

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C 

= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C 

= - ln|secx - tanx| + C 

= ln|secx + tanx| + C

Answer 2

方法是凑微分法。

Answer 3

解：三角代换
令x=tant
dx=sec^2tdt。
原是=积分1/sect*sec^2tdt
=积分sectdt
=ln/sect+tant/+C
原函数的积分为ln/secx+tanx/+C.

Answer 4

令x=tanθ，
dx=secθ^2*dθ
∫(1／√1+x^2)dx
=∫(1／√(1+tanθ^2)*secθ^2*dθ
=∫(1/cosθ)dθ
=∫[cosθ/(cosθ）^2]dθ
=∫1/[1-(sinθ)^2]d（sinθ)
=1/2*ln[（1+sinθ）/（1-sinθ)]+C
=ln[x+√(1+x^2)]+c

Answer 5

∫1/√(1+x²)dx=∫[x+√(1+x²)]/{[x+√(1+x²)]√(1+x²)}dx
=∫[1+x/√(1+x²)]/[x+√(1+x²)]dx
=∫d[x+√(1+x²)]/[x+√(1+x²)]
=ln [x+√(1+x²)]+C

追问

看懂了。大神，求思路😭

追答

第一类换元法多做多练

追问

教材习题没过程。。

拜托讲一下思路，采纳你

追答

我也没什么思路 是在做题目时知道的
1/√((ax)²±b)型可用上面的方法

追问

哦哦谢谢啦