0到(n-1)共n个数，从中任取k个数(允许重复)相加，相加两次得到的和相同的概率P是多少？

Question

例如：0, 1, 2, 3, 4, 5共6个数中
1+1+3 = 5
0+2+3 = 5
0+0+5 = 5
想知道相加之和重复的概率是多少

Answer 1

0到(n-1)共n个数，从中任取k个数(允许重复)总共有（n+1）^k种取法

假设K个数相加的和为m，如下
0 0 m
0 1 m-1
...
0 m 0 m+1个
1 0 m-1
...
1 m-1 0 m个
依次类推
m 1 1 1个

则这K个数的取法为
1+2+...+(m+1)=(m+1)(m+2)/2

那么K个数相加和为m所要求得的概率为 (m+1)(m+2)/2(n+1)^k×(m+1)(m+2)/2(n+1)^k
=(m+1)²(m+2)²/4(n+1)^2k
m可能取到的值为0到kn

所以从中任取k个数(允许重复)相加，相加两次得到的和相同的概率
nk
P= ∑ (m+1)²(m+2)²/4(n+1)^2k
m=0