【不定积分】三角换元有使用条件吗？本题两种方法做 感觉三角代换不用分类讨论啊，，，求教

Question

下面这题用图中给出的解法要讨论 可是我用令t=tan 2/x进行万能代换，这时设-π<x<π 这样就不用讨论了 是正的 想请教问题出在哪里 难道三角换元有使用条件吗？

谢谢了！

Answer 1

注意观察原式, 原式里面隐含条件定义域x≠0.原函数其实是个分段函数的积分. 参考答案的巧妙之处在于把所有分段归为两类来讨论.
而你的换元代换t=tan(x/2), x∈(-π, π), 扩大了原来的定义域, t=0被包含在了里面.而实际定义域为
(-π, 0)∪(0, π)或者x∈(-π, π)且x≠0.

按你的换元过程, 原函数则不再是分段函数, 你给增加了对不连续点的补充定义. 因此不能这样简单的代换.
换元可以,但要和原函数的定义域等价.