求∫1/(1+x²)dx，∫1/(1-x²)dx，∫1/√(1+x²)dx

Answer 1

记住基本的积分公式∫1/(1+x²)dx=arctanx+C，

而
∫1/(1-x²)dx
=∫1/2 *[1/(1-x) +1/(1+x)]dx
=1/2 *(ln|1+x| -ln|1-x|) +C
=1/2 *ln|(1+x)/(1-x)|+C，C为常数

∫1/√(1+x²)dx，令x=tant
=∫1/√(1+tan²t) d(tant)
=∫cost / cos²t dt
=ln|sect+tant| +C
=ln|x+√(1+x²)| +C，C为常数

追问

那个基本公式怎么证 复制去Google翻译翻译结果

追答

求导里可有基本公式(arctanx)'= 1/(1+x²)

积分推导的话，
∫1/(1+x²)dx 令x=tant

=∫1/(1+tan²t) d(tant)

=∫cos²t/(cos²t+sin²t) *1/cos²t *dt

=∫ 1 dt
=t = arctanx +C，C为常数
这样就得到了证明

追问

嗯，能问下∫dx/cos³x等于多少么 复制去Google翻译翻译结果

追答

使用分部积分法，麻烦点
∫dx/cos³x
=∫ sec³xdx
= ∫secx dtanx
=secx *tanx - ∫secx *tan²x dx
=secx *tanx - ∫secx *(sec²x-1)dx
所以得到
2∫dx/cos³x =secx *tanx + ∫secxdx
=secx *tanx + ln|secx+tanx|
于是
∫dx/cos³x = (1/2)[secx.tanx + ln|secx+tanx| ] + C，C为常数

Answer 2

∫x²√(1+x²)dx
令x=tanθ，
原式=∫tan²θsecθdtanθ
=∫tan²θsec³θdθ
=∫(sec²θ-1)sec³θdθ
=∫sec^5θdθ-∫sec³θdθ
∫sec^5θdθ
=∫sec³θdtanθ
=sec³θtanθ-∫tanθdsec³θ
=sec³θtanθ-3∫sec³θ*tan²θdθ
=sec³θtanθ-3∫sec³θ(sec²θ-1)dθ
=sec³θtanθ-3∫sec^5θ+3∫sec³θdθ
∫sec^5θ=sec³θtanθ/4+3/4∫sec³θdθ
∫sec^5θdθ-∫sec³θdθ=sec³θtanθ/4-1/4∫sec³θdθ
∫sec³θdθ
=∫secθdtanθ
=secθtanθ-∫tanθdsecθ
=secθtanθ-∫tan²θsecθdθ
=secθtanθ-∫(sec²θ-1)secθdθ
=secθtanθ-∫sec³θdθ+∫secθdθ
=secθtanθ-∫sec³θdθ+ln|secθ+tanθ|
∫sec³θdθ=(secθtanθ+ln|secθ+tanθ|)/2
sec³θtanθ/4-1/4∫sec³θdθ=sec³θtanθ/4-(secθtanθ+ln|secθ+tanθ|)/8
secθ=√(1+x²) tanθ=x
原式=(x+x³)√(1+x²)/4-(x√(1+x²)+ln|√(1+x²)+x|)/8