数学高考

Question

谁有数学高考题 那种需要用到 不等式放缩的题目
要最最最最最最最经典的 无论多少照单全收!!!!!!!!@
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
我需要啊!!!!!!!!!!!!!!!
要很难很经典的那种,,,,,其他的没什么意义
谢谢各位了
谢谢
此致敬礼!
3楼的我看不懂,我现在要的是题型

Answer 1

（Ⅲ）范例分析

b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．
分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？
解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)•|y-1|+(y+3)

(2)当1≤y≤3时，
所以当y=1时，xmin=4．

说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式

例2．解关于 的不等式：
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当

。
例3． 己知三个不等式：① ② ③
(1)若同时满足①、②的 值也满足③，求m的取值范围；
(2)若满足的③ 值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。
分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的 值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在 和 内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。
解：记①的解集为A，②的解集为B，③的解集为C。
解①得A=（-1，3）；解②得B=
（1） 因同时满足①、②的 值也满足③，A B C
设 ，由 的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足
（2） 因满足③的 值至少满足①和②中的一个， 因
此 小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而

说明：同时满足①②的x值满足③的充要条件是：③对应的方程2x +mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A∩B中的所有x值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．

例4.已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．
分析：回忆二次函数的几种特殊形式．设f(x)=ax +bx+c(a≠0)．①
顶点式．f(x)=a(x-x ) +f(x )(a≠0)．这里(x ，f(x ))是二次函数的顶点，x =

))、(x ，f(x ))、(x ，f(x ))是二次函数图象上的不同三点，则系数a，b，c可由

证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x )(x-x )，a∈N．
依题意知：0＜x ＜1，0＜x ＜1，且x ≠x ．于是有
f(0)＞0，f(1)＞0．
又f(x)=ax -a(x +x )x+ax x 为整系数二次三项式，
所以f(0)=ax x 、f(1)=a•(1-x )(1-x )为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1．
从而 f(0)•f(1)≥1． ①
另一方面，

且由x ≠x 知等号不同时成立，所以

由①、②得，a ＞16．又a∈N，所以a≥5．
说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键．
例5.设等差数列{a }的首项a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．问：它的前多少项的和最大？
分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列．
解:设等差数列{a }的公差为d，由Sm=Sn得

ak≥0，且ak+1＜0．

(k∈N)．

说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)．正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键．
例6．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．
解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是

解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得

(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]．
解法二(数形结合)

建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ①
所以 3≤3f(-1)≤6． ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．

例7．(2002 江苏)己知 ，
（1）
（2） ，证明：对任意 ， 的充要条件是 ；
（3） 讨论：对任意 ， 的充要条件。
证明：（1）依题意，对任意 ，都有

（2）充分性：

必要性：对任意

（3）
即
而当

例8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1．
分析：由条件a3+b3=2及待证的结论a+b≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”．
证法一 (作差比较法)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，
即 (a+b)3≤23．

证法二 (平均值不等式—综合法)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

所以a+b≤2，ab≤1．
说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮．
证法三 (构造方程)
设a，b为方程x2-mx+n=0的两根．则

因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．①
因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以

所以a+b≤2．
由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1．
说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点．
证法四 (恰当的配凑)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，
于是有6≥3ab(a+b)，从而
8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，
所以a+b≤2．(以下略)

即a+b≤2．(以下略)
证法六 (反证法)
假设a+b＞2，则
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)．
因为a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1． ①
另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)•ab＞2ab，
所以ab＜1． ②
于是①与②矛盾，故a+b≤2．(以下略)
说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法．

例9．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相

分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．
证明：由题意知，a≠0．设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则
又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故
Δ1=(b+1)2-4ac＜0，
Δ2=(b-1)2-4ac＜0．
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即
b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．

说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．

例10．（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2001年末的汽车保有量为 ，以后每年末的汽车保有量依次为 ，每年新增汽车 万辆。
由题意得

例11．已知奇函数
知函数

分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。

令
要使
10 当

30当
综上：

例12．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽 是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽 ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？
（半个椭圆的面积公式为s= 柱体体积为：底面积乘以高， ， 本题结果均精确到0.1米）
分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。
解：1)建立如图所示直角坐标系，则P（11，4.5）
椭圆方程为：
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得
故隧道拱宽约为33.3米
2)由椭圆方程

故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.

例13．已知n∈N，n＞1．求证
分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解．

则

说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决．

例14．已知函数

分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明（1）再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）。
证明：（1）
当且仅当 时，上式取等号。

（2） 时，结论显然成立
当 时，

例15．（2001年全国理）己知
（1）
（2）
证明：（1）
同理

（2）由二项式定理有

因此
。
四、强化训练
1．已知非负实数 ， 满足 且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题p：函数 的值域为R，命题q：函数
是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是 （ ）
A．a≤1 B．a<2 C．1<a<2 D．a≤1或a≥2
3． 解关于 的不等式 ＞0
4．求a，b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别是：
(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．
5． 解关于 的不等式
6．（2002北京文）数列 由下列条件确定：
（1）证明：对于 ,
（2）证明：对于 ．
7．设P=(log2x) +(t-2)log2x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值，试求x的变化范围．
8．已知数列 中，
b1=1，点P（bn,bn+1）在直线x-y+2=0上。
Ⅰ）求数列
Ⅱ）设 的前n项和为Bn, 试比较 。
Ⅲ）设Tn=
五、参考答案
1．解：画出图象，由线性规划知识可得，选D
2．解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数 的判别式 ，从而 ；命题q为真时， 。
若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。
若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1<a<2，故选C.
3．分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本步骤。本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为
和比较 与 及3的大小，定出分类方法。
解：原不等式化为：
（1） 当 时，由图1知不等式的解集为
（2） 当
（3） 当
4．分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．
解(1) 由题意可知，a＞0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以

(3)由题意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以
4a+2b+a2-1=0． ①
又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以

(4)由题意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以
a=0，b=-1．
说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换。
5．分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。
解：设 ，原不等式化为 ，在同一坐标系中作出两函数图象
故（1）当
（2）
（3）当 时，原不等式的解集为φ
综上所述，当 时，解集为 ）；当 时，解集为
时，解集为φ。

6．证明：（1）

（2）当 时，
=
7．分析：要求x的变化范围，显然要依题设条件寻找含x的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值．”的含义．你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考．在所给数学结构中，右式含两个字母x、t，t是在给定区间内变化的，而求的是x的取值范围，能想到什么？
解：设P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1．因为 P=f(t)在top直角坐标系内是一直线，所以t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值的充要条件

解得log2x＞3或log2x＜-1．

说明：改变看问题的角度，构造关于t的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题．
8．分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。
略解：Ⅰ）
Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

Ⅲ)Tn= ①
②
①-②得

Answer 2

晕 没必要找很多题 关键是做一个能消化一个
比较建议你挑几个做过的经典的 然后反复看形成一种思路
这应该比作题有效的

Answer 3

.......中学教才全解里的题很好建议看看