线性代数矩阵的幂计算方法

Question

就比如简单的矩阵 -1 1 1 -1来说，求这个矩阵A^6,这种题怎么求，能随便初等变换吗？
1 -1 -1 1
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1
如果更复杂一点点，矩阵B=3 0 0 0，求B的n次方这种题呢？
0 3 0 0
0 0 3 1
0 0 4 3

Answer 1

一般有以下几种方法
1. 计算A^2,A^3 找规律, 然后用归纳法证明
2. 若r(A)=1, 则A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A
注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)
3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二项式公式展开
适用于 B^n 易计算, C的低次幂为零矩阵: C^2 或 C^3 = 0.
4. 用对角化 A=P^-1diagP
A^n = P^-1diag^nP

比如第一题适合用第2种方法, A=(-1,1,1,-1)^T (1,-1,-1,1)
第二题适合用第4种方法, 这要学过特征值特征向量后才行

Answer 2

先变换对角阵，然后求n次方，这个时候只有对角上的元素变化，对角的元素乘方。
乘完之后，再做反变换，就得到你希望的矩阵了。

Answer 3

一般解法是求出矩阵的Jordan标准型及过渡矩阵
设矩阵A的Jordan标准型为J，P是可逆矩阵使得A=PJP^(-1)，则A^k=PJ^KP^(-1)
J的形式比较简单，它除了对角线及对角线上面一斜列不为0外，其他位置全为0，J的幂次很容易计算。