高等数学概率论问题

Question

设随机变量X和Y独立且在（0，θ）上服从均匀分布，则E[min（X,Y）]等于？

答案提示说min（x，y）=1/2(x+y-|x-y|)，可是我想问一下E(|x-y|)该怎么求呢?主要是这个绝对值去不掉

求详解，万分感谢！！！

Answer 1

P(min(X,Y)<a)=1-P(min(X,Y)>a)=1-P(X>a,Y>a)=1-P(X>a)P(Y>a)=1-((theta-a)/theta)^2
第三步的是因为如果X和Y中比较小的那个都比a大了，那么X和Y肯定都比a大。这样就可以求出min(X,Y)的分布函数
至于你的问题么 E(|X-Y|)=E(X-Y)I(X-Y>0)+E(Y-X)I(X-Y<0) 所以你把这个积分拆成X>Y和X<Y的两个部分分别求定积分再加起来就可以了

Answer 2

E(|x-y|)=积分_0^θ积分_0^θ|x-y|/θ^2dxdy=2积分_0^θ积分_0^x(x-y)/θ^2dxdy(用了积分的轮换对称性)=2积分_0^θ(x^2-x^2/2))/θ^2dx=2积分_0^θx^2/2/θ^2dx
=θ/3