3/（2x➖x∧4）的不定积分？

Answer 1

这个积分还是有些复杂的，不给出结果而仅提供思路如下：
(1) 取负号并把常系数3移到积分号外，把分母上x的四次方向的系数变成正数
(2) 把分母分解为若干关于x的多项式的乘积，其中每一个多项式中x的次数不超过二次，结果得到分母=x(x-t)(x^2+x*t+t^2)，其中t^3=2，下同），此时积分式变为1/x/(x-t)/(x^2+x*t+t^2)
(3) 利用待定系数法把分式拆开：
设a/x + b/x-t + (cx + d)/(x^2 + x*t + t^2) = 1/x/(x-t)/(x^2+x*t+t^2)
利用左右两侧不同次x的系数相同求解四个待定系数a/b/c/d，从而将原高达四次的分母变为三个分母不超过二次的分式的和，相当于把原不定积分变为了三个不定积分的和
(4) 分别积分（注意最后分母上含有x^2项的分式的积分还需要借助积分表，或者分成两步：先“配方”，把分子变为分母的导数的倍数以及一个常数项的和，再分别积分后求和）相加，，从而得到最终结果。
整体思路就是先做分解，然后利用待定系数法降次，把高次分母化为若干分母不超过二次的分式的和——无论如何，高次分式不好积分。
附：求解四个系数本身是一个四元一次方程组，可以手算，也能借助MATLAB。最后可得a = -0.5，b = 1/6，c = 1/3，d = 0.21。