数学的本质？

Answer 1

最简略的回答：数学是抽象。

数学源自于古希腊语，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用，以及它们综合起来的努力，才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。

现代数学在方法上最明显的特色是它的演绎性，就是由基本定义与公理出发，经逻辑推论到所有定理的发展方式。采取这种方法并非偶然，而是有内在的需求。我们要把一套概念讲清楚，必须用比较简单的概念来解释，但是这些概念又需要再加澄清，如此继续下去，如果不曾周而复始得到一个什麼也说不清的恶性循环，便会无限延伸下去，达到一个不可知的前端。人类寻求知识的目的在组织自己对外在的认识，而去了解事物的表象与本质，因此在没有坠入不可知的深渊前，必定会在某些我们直觉已认为意义相当清晰的概念处停住。我们把这些概念作为理论发展的基础，不再去解释它们的意义，也就是说暂时抛开它们的具体内容。这些概念我们称为基础概念。从此以後在我们理论发展的过程中，一切的概念都要由这些基础概念定义出，否则便不能采用。基础概念间如果彼此毫无关联，显然无法用来建立起一套有意义的理论，那麼在联系起基础概念的叙述中，我们又必须挑出一些在认识上感觉最明白的作为出发点，这些叙述我们称为公理。自此我们便用逻辑的方法，由基础概念与公理演绎出所有的定理，而一切不能由这个程序推得的叙述，我们便不认为它是这套理论裏正确的命题。现代数学中各门理论，基本上都是由这个演绎方法组织起的。不过比较复杂的理论，除了自己的基础概念及公理外，常常要引用别的理论的结果。所以严格说起来，那些理论的基础概念及公理也必须包括进来。但是为表达的简明，我们通常不这样全套写出。譬如大部分的理论都引用集合论的概念与定理，而一切数学理论系统必须立足於逻辑系统上，否则便无法作推论了。

数学研究的是抽象概念，运用的是抽像方法，数学的发展体现为抽象程度的逐渐深入。
但是深入的话，数学的本质并没有定论。我将在下面分三个部分展开，对＠涛吴 提供的维基链接中提到的各种观点做一个简短的解释。

普通数学
对应于维基上说的现实主义数学，逻辑主义数学。大多普通群众，科研工作者，和很多数学家，都采取这些观点。在这些观点下，数学与现实紧密结合，因此其应用当然也非常广泛。
这其中比较肤浅的是：
数学是生产生活生存的需要，比如几何是为了丈量土地，数学是工具。
这个观点的代表么……马克思同学（如果他真这么说过）。所以1＋1＝2，因为一个苹果，再来一个苹果，是两个苹果，这是从实践中总结的经验和规律。
比较靠谱的想法是：
数学是无实体的，永恒的客观存在，是等待被人发现的自然规律。
提问者和大多数人都有这个想法。很多数学家，包括一些大师也有这个想法。所以勾股定理不仅是丈量土地有用，还是直角三角形的普遍规律，而三角形是自然界中的对象。
另有一些数学家，和不少学计算机的认为：
数学是逻辑的一部分，是公理系统。
这个观点在实践中还是非常流行的，并且的确非常强大。但是其中很多悖论经不住下面那个文艺数学的推敲。在这个观点下，数字和运算都是公理。

文艺数学
对应于维基上的形式主义。很多数学家，很多搞哲学的，还有我个人，都持这样的观点。

形式主义认为：数学体系是一场有一定规则的思维游戏，与现实世界完全无关。

与前面那些观点不同的是，这个观点空前抽象和开放。我们从此开始发明各种变态规则，玩奇怪的非人的游戏。在这个观点认为，勾股定理在欧几里德的几何规则下才正确，但是我们可以发明其他非欧几何，让他不正确；数是代数结构中的元素，运算是游戏规则。

这个观点给数学带来了空前的发展，也导致纯数学与现实严重脱节。不管有用没用，对形式主义者来说都一样值得研究。虽然对现实不再有直接的应用，但是其他学科主动去消化的话，仍然能找到很好的归宿。

二逼数学
我想提的是直觉说。很多搞认知学的，搞神经学的，大概会持这个观点……

直觉说认为：数学是人的大脑活动，数学都是被经历过的。

说一个数学对象存在，是因为你可以在大脑中构造这个对象。所以一些激进点的人会否认“无穷”这个概念的存在。我的一个认知学老师这样对我们说：数学家们经常觉得自己来了灵感，其实他们就是学了很多之后，从经验中获得的想法，哪有什么空来的点子。

其实他们的观点我觉得有些道理，只是……类比Sheldon说自己有很牛的想法，而Amy说自己研究的就是这些想法怎么来的。

Answer 2

数学源自于古希腊语，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用，以及它们综合起来的努力，才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。

现代数学在方法上最明显的特色是它的演绎性，就是由基本定义与公理出发，经逻辑推论到所有定理的发展方式。采取这种方法并非偶然，而是有内在的需求。我们要把一套概念讲清楚，必须用比较简单的概念来解释，但是这些概念又需要再加澄清，如此继续下去，如果不曾周而复始得到一个什麼也说不清的恶性循环，便会无限延伸下去，达到一个不可知的前端。人类寻求知识的目的在组织自己对外在的认识，而去了解事物的表象与本质，因此在没有坠入不可知的深渊前，必定会在某些我们直觉已认为意义相当清晰的概念处停住。我们把这些概念作为理论发展的基础，不再去解释它们的意义，也就是说暂时抛开它们的具体内容。这些概念我们称为基础概念。从此以後在我们理论发展的过程中，一切的概念都要由这些基础概念定义出，否则便不能采用。基础概念间如果彼此毫无关联，显然无法用来建立起一套有意义的理论，那麼在联系起基础概念的叙述中，我们又必须挑出一些在认识上感觉最明白的作为出发点，这些叙述我们称为公理。自此我们便用逻辑的方法，由基础概念与公理演绎出所有的定理，而一切不能由这个程序推得的叙述，我们便不认为它是这套理论裏正确的命题。现代数学中各门理论，基本上都是由这个演绎方法组织起的。不过比较复杂的理论，除了自己的基础概念及公理外，常常要引用别的理论的结果。所以严格说起来，那些理论的基础概念及公理也必须包括进来。但是为表达的简明，我们通常不这样全套写出。譬如大部分的理论都引用集合论的概念与定理，而一切数学理论系统必须立足於逻辑系统上，否则便无法作推论了。

Answer 3

代数，分析，几何，用抽象的语言表示一般有通用性的事实，严谨的思维逻辑

Answer 4

是探索自然科学的工具