第1个回答 2015-02-02
第一章 基本概念
本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础，也是学习本课程各个代数体系的必备知识。其主要内容有
1.集合的概念与运算
2.映射的定义与几种特殊映射的性质
3.卡氏积与代数运算
4.等价关系与集合的分类
考试要求：
掌握集合的概念与运算，掌握集合的交、并、集合 的幂集 的定义及表示，熟练掌握习题7、8的结论；了解映射的定义与几种特殊映射的性质，掌握映射的合成，熟练掌握定理1.6及习题2、6的结论；掌握代数运算的定义与判定方法， 熟练掌握习题2；掌握等价关系与集合的分类的定义及相关性质，能够由等价关系得出集合分类，并能正确给出商集，熟练掌握习题5、6。
第二章 群
群是具有一种代数运算的代数体系，即具有一个代数运算的集合，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支。其主要内容有
1.半群的定义及性质
2.群的定义及等价条件
3.元素阶的定义及性质
4.循环群的定义及结构
5.子群及判定条件
6.变换群
7.群的同态与同构、Cayley定理
8.子群的陪集、Lagrange定理
9.正规子群与商群、正规子群的等价条件
10.同态基本定理与同构定理
考试要求：
掌握半群的定义及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的结论；掌握群的定义及性质，如定理2.5、定理2.6及推论； 熟练掌握群的一些重要例子，如例1、例3、例4、例7，熟练掌握习题2、3、6、9；掌握元素阶的定义及相关重要性质，如定理2.8、定理2.9、定理2.10，熟练掌握例1、例2；熟练掌握循环群的定义、构造及性质，如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推论1、推论2， 熟练掌握例5、例6及习题2、3、5、8、9；熟练掌握子群的定义及性质，如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、习题2、4、5； 掌握变换群的概念及有关结论，熟练掌握 次对称群、循环置换的概念及性质，特别是3次、4次对称群元素的表示、运算及性质，如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及习题4；掌握群的同态、同构的定义、性质以及Cayley定理及定理2.28、定理2.30，会求同态象与同态核，掌握习题1、2；掌握子群陪集的概念及性质，熟练掌握Lagrange定理及及其推论1、推论2、例5、例6，熟练掌握习题2、3、 4、5；掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40， 能够正确判定子群与正规子群， 掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6，正确掌握商群的概念及性质（推论）；掌握并正确使用同态基本定理，熟练掌握复习题二中的第2、4题。
第三章 环
环是具有两中代数运算的代数体系，它也是近世代数中的一个重要分支。其主要内容有
1. 环的定义；整环、除环、域的定义及性质
2. 子环及判定条件
3. 环的同态与同构
4. 理想与商环
5. 素理想与极大理想
6. 商域
7. 多项式环
8. 扩域
9. 有限域
考试要求：
熟练掌握环、整环、除环、域的概念及相关命题：定理3.1及推论、定理3.2、定理3.3、定理3.4及推论。熟练掌握几个重要环的例子，如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10，掌握环的单位元、零因子的定义及性质，熟练掌握习题5、9、10、11；掌握子环、子域的概念以及判定定理3.5、定理3.6，掌握例
例1、例4、例6， 需要注意：子环 与环 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不一定一致；掌握环的同态与同构的定义及相关性质（定理3.10、定理3.11），会求同态象与同态核，需要注意：当 与 满同态时， 与 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致；熟练掌握习题2、3；掌握理想与商环的概念及相关命题（定理3.14、定理3.17及推论、定理3.18）； 熟练掌握主理想的构造（推论1），熟练掌握例2、例5、例6、例7、例8及习题1、2、4、7；正确应用同态基本定理及同构定理； 掌握素理想与极大理想的定义、判定方法及相关命题（定理3.22、定理3.23及推论），熟练掌握例1、例2、例3、例4、例5及习题1、2、3；了解商域及多项式环的构造；了解域的研究方法，掌握代数元的极小多项式的性质及求法，掌握有限扩域的概念及定理3.35.
第四章 整环里的因子分解
在整数环 中，每个不等于 的非零整数都能分解成有限个素数的乘积，而且除了因数次序和 的因数差别外，分解是惟一的。同样，在数域 上的一元多项式环 中，每个次数 的多项式都能分解成有限个不可约多项式的乘积，而且除了因子次序和零次因式的差别外，分解是惟一的。在这一章里，我们将对一般的整环讨论元素分解的理论，给出整环中因子分解惟一性定理成立的一些条件，并介绍几种惟一分解定理成立的整环。其主要内容有
1. 不可约元、素元、最大公因子
2. 惟一分解环
3. 主理想环
4. 欧氏环
5. 惟一分解环上的一元多项式环
6. 因子分解与多项式的根
考试要求：
掌握整环中的单位、相伴、真因子、不可约元、素元、最大公因子的概念及其性质，熟练掌握例1、例2及习题2、3、4；掌握惟一分解元、惟一分解环的定义及其性质，熟练掌握例1及习题1；熟练掌握主理想环的概念及主理想环的例子，如：整数环 、域 上的一元多项式环 ，知道整数环 上的一元多项式环 不是主理想环，掌握定理4.14、定理4.15、定理4.16及其习题4、5；熟练掌握欧氏环的定义及欧氏环的例子，如：整数环 、高斯（Gauss）整数环 、域 、域 上的一元多项式环 ，掌握定理4.17、定理4.18；掌握惟一分解环上的一元多项式环也是惟一分解环；了解因式分解与多项式的根的概念及其性质，掌握例子及习题1、2、3.
三、有关说明
（一）教材：
自学教材：1、《近世代数》，朱平天主编，科学出版社，2001年版；2、《抽象代数基础》，李克正主编，清华大学出版社，2007年。
教材1可作为应考者复习应考的主要参考教材，教材2可作为应考者补充和提高抽象代数知识的主要参考。本课程考试命题以大纲为依据。
其他参考书目：
《近世代数基础》，张禾瑞编，人民教育出版社， 1984年版。
（二）自学方法的指导
本课程作为一门专业课程，内容抽象，综合性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点：
1.本课程在学生具备初等代数、高等代数知识的基础上，系统地学习群、环、域的基础知识。因此，自学前，要注意知识的积累与衔接。应仔细阅读课程考试大纲，了解课程的性质、地位和要求，熟悉掌握课程的基本内容，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。
2.所配教材是自学的主要依据，自学时应结合教材及课程考试大纲和参考书目，熟练掌握基本概念和方法的同时，能结合具体例子进行练习和运用，以达到本课程的要求。
（三）对社会助学的要求
1.应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章节的知识点。
2.对考生进行辅导时，主要以指定的教材为主，同时以考试大纲为依据，关注补充参考书目，注重提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，增强数学修养与技巧，提高解决问题的能力。
（四）关于命题和考试的若干规定
1.本大纲各章节所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到各章节，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。
2.试题难度结构合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为4：4：2.
3.本课程考试试卷可能采用的题型有：填空题、判断改错题、计算简答题、证明题（见附件题型示例）。
4.考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格。追问
本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础，也是学习本课程各个代数体系的必备知识。其主要内容有
1.集合的概念与运算
2.映射的定义与几种特殊映射的性质
3.卡氏积与代数运算
4.等价关系与集合的分类
考试要求：
掌握集合的概念与运算，掌握集合的交、并、集合 的幂集 的定义及表示，熟练掌握习题7、8的结论；了解映射的定义与几种特殊映射的性质，掌握映射的合成，熟练掌握定理1.6及习题2、6的结论；掌握代数运算的定义与判定方法， 熟练掌握习题2；掌握等价关系与集合的分类的定义及相关性质，能够由等价关系得出集合分类，并能正确给出商集，熟练掌握习题5、6。
第二章 群
群是具有一种代数运算的代数体系，即具有一个代数运算的集合，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支。其主要内容有
1.半群的定义及性质
2.群的定义及等价条件
3.元素阶的定义及性质
4.循环群的定义及结构
5.子群及判定条件
6.变换群
7.群的同态与同构、Cayley定理
8.子群的陪集、Lagrange定理
9.正规子群与商群、正规子群的等价条件
10.同态基本定理与同构定理
考试要求：
掌握半群的定义及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的结论；掌握群的定义及性质，如定理2.5、定理2.6及推论； 熟练掌握群的一些重要例子，如例1、例3、例4、例7，熟练掌握习题2、3、6、9；掌握元素阶的定义及相关重要性质，如定理2.8、定理2.9、定理2.10，熟练掌握例1、例2；熟练掌握循环群的定义、构造及性质，如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推论1、推论2， 熟练掌握例5、例6及习题2、3、5、8、9；熟练掌握子群的定义及性质，如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、习题2、4、5； 掌握变换群的概念及有关结论，熟练掌握 次对称群、循环置换的概念及性质，特别是3次、4次对称群元素的表示、运算及性质，如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及习题4；掌握群的同态、同构的定义、性质以及Cayley定理及定理2.28、定理2.30，会求同态象与同态核，掌握习题1、2；掌握子群陪集的概念及性质，熟练掌握Lagrange定理及及其推论1、推论2、例5、例6，熟练掌握习题2、3、 4、5；掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40， 能够正确判定子群与正规子群， 掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6，正确掌握商群的概念及性质（推论）；掌握并正确使用同态基本定理，熟练掌握复习题二中的第2、4题。
第三章 环
环是具有两中代数运算的代数体系，它也是近世代数中的一个重要分支。其主要内容有
1. 环的定义；整环、除环、域的定义及性质
2. 子环及判定条件
3. 环的同态与同构
4. 理想与商环
5. 素理想与极大理想
6. 商域
7. 多项式环
8. 扩域
9. 有限域
考试要求：
熟练掌握环、整环、除环、域的概念及相关命题：定理3.1及推论、定理3.2、定理3.3、定理3.4及推论。熟练掌握几个重要环的例子，如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10，掌握环的单位元、零因子的定义及性质，熟练掌握习题5、9、10、11；掌握子环、子域的概念以及判定定理3.5、定理3.6，掌握例
例1、例4、例6， 需要注意：子环 与环 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不一定一致；掌握环的同态与同构的定义及相关性质（定理3.10、定理3.11），会求同态象与同态核，需要注意：当 与 满同态时， 与 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致；熟练掌握习题2、3；掌握理想与商环的概念及相关命题（定理3.14、定理3.17及推论、定理3.18）； 熟练掌握主理想的构造（推论1），熟练掌握例2、例5、例6、例7、例8及习题1、2、4、7；正确应用同态基本定理及同构定理； 掌握素理想与极大理想的定义、判定方法及相关命题（定理3.22、定理3.23及推论），熟练掌握例1、例2、例3、例4、例5及习题1、2、3；了解商域及多项式环的构造；了解域的研究方法，掌握代数元的极小多项式的性质及求法，掌握有限扩域的概念及定理3.35.
第四章 整环里的因子分解
在整数环 中，每个不等于 的非零整数都能分解成有限个素数的乘积，而且除了因数次序和 的因数差别外，分解是惟一的。同样，在数域 上的一元多项式环 中，每个次数 的多项式都能分解成有限个不可约多项式的乘积，而且除了因子次序和零次因式的差别外，分解是惟一的。在这一章里，我们将对一般的整环讨论元素分解的理论，给出整环中因子分解惟一性定理成立的一些条件，并介绍几种惟一分解定理成立的整环。其主要内容有
1. 不可约元、素元、最大公因子
2. 惟一分解环
3. 主理想环
4. 欧氏环
5. 惟一分解环上的一元多项式环
6. 因子分解与多项式的根
考试要求：
掌握整环中的单位、相伴、真因子、不可约元、素元、最大公因子的概念及其性质，熟练掌握例1、例2及习题2、3、4；掌握惟一分解元、惟一分解环的定义及其性质，熟练掌握例1及习题1；熟练掌握主理想环的概念及主理想环的例子，如：整数环 、域 上的一元多项式环 ，知道整数环 上的一元多项式环 不是主理想环，掌握定理4.14、定理4.15、定理4.16及其习题4、5；熟练掌握欧氏环的定义及欧氏环的例子，如：整数环 、高斯（Gauss）整数环 、域 、域 上的一元多项式环 ，掌握定理4.17、定理4.18；掌握惟一分解环上的一元多项式环也是惟一分解环；了解因式分解与多项式的根的概念及其性质，掌握例子及习题1、2、3.
三、有关说明
（一）教材：
自学教材：1、《近世代数》，朱平天主编，科学出版社，2001年版；2、《抽象代数基础》，李克正主编，清华大学出版社，2007年。
教材1可作为应考者复习应考的主要参考教材，教材2可作为应考者补充和提高抽象代数知识的主要参考。本课程考试命题以大纲为依据。
其他参考书目：
《近世代数基础》，张禾瑞编，人民教育出版社， 1984年版。
（二）自学方法的指导
本课程作为一门专业课程，内容抽象，综合性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点：
1.本课程在学生具备初等代数、高等代数知识的基础上，系统地学习群、环、域的基础知识。因此，自学前，要注意知识的积累与衔接。应仔细阅读课程考试大纲，了解课程的性质、地位和要求，熟悉掌握课程的基本内容，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。
2.所配教材是自学的主要依据，自学时应结合教材及课程考试大纲和参考书目，熟练掌握基本概念和方法的同时，能结合具体例子进行练习和运用，以达到本课程的要求。
（三）对社会助学的要求
1.应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章节的知识点。
2.对考生进行辅导时，主要以指定的教材为主，同时以考试大纲为依据，关注补充参考书目，注重提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，增强数学修养与技巧，提高解决问题的能力。
（四）关于命题和考试的若干规定
1.本大纲各章节所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到各章节，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。
2.试题难度结构合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为4：4：2.
3.本课程考试试卷可能采用的题型有：填空题、判断改错题、计算简答题、证明题（见附件题型示例）。
4.考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格。追问
选哪个答案啊，亲
“抽象”代数应该考什么?——出自《尔雅通识课·数学大观》
自学教材:1、《近世代数》,朱平天主编,科学出版社,2001年版;2、《抽象代数基础》,李克正主编,清华大学出版社,2007年。 教材1可作为应考者复习应考的主要参考教材,教材2可作为应考者补充和提高抽象代数知识的主要参考。本课程考试命题以大纲为依据。 其他参考书目: 《近世代数基础》,张禾瑞编,人民教育出版社,...
相似回答
