高等数学隐函数问题

Question

f(x,y,z)=x^3y^2z^2,其中z为方程x^3+y^3+z^3-3xyz=0所确定的隐函数试求fx(-1,0,1)

Answer 1

首先令(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz
gx=3x^2-3yz gz=3z^2-3xy
zx=-(gx/gz)=-(3x^2-3yz)/(3z^2-3xy)=-(x^2-yz)/(z^2-xy)
下面对f(x,y,z)求导(PS 这时候y可视作为常数,z视作为x的一个函数)
fx=3x^2z^2+x^3*2z*zx
=3x^2z^2-x^3*2z(x^2-yz)/(z^2-xy)
代入(-1,0,1)
得fx=3*1*2*1-(-1)*2*1/1=8

追问

为什么y视作为常数。为什么不可以x为常数。不是单问PS那里。而且还有上面求隐函数为什么不求zy。而是zx 是因为最后所谓的y=0吗。求解答。

追答

因为题目要求的是z为因变量，所以剩下的x和y都是自变量，是分开考虑的。x也可是视作常数，前提是你是对y求导。

正是因为你是求fx而不是fy所以才要求zx啊。

Answer 2

x^3+y^3+z^3-3xyz=0两边对x求导得
3x^+3z^*z'x-3yz-3xy*z'x=0,
(z^-xy)z'x=yz-x^,
∴z'x=(yz-x^)/(z^-xy),
f(x,y,z)=x^3y^z^,
∴f'x=3x^y^z^+2x^3y^z*z'x
=3x^y^z^+2x^3y^z(yz-x^)/(z^-xy),
∴f'x(-1,0,1)=0.
可以吗？

追问

为什么求导的时候直接把y当场常数了？

追答

z是x,y的函数。所以对x求偏导数时，y可看做常数.

Answer 3

首先对f（x，y，z）求对x和z的偏导数，那么所求偏导数为对x的偏导加上对z（x）的偏导，所以代入数据有=3x^2y^2z^2+2zx^3y^2(dz/dx),。注意到都含有y，且y=0，所以简化一下就有原式=0