课程设计 数学建模

Question

设某货物的需求量呈正态分布，已知其均值u=150 ，标准差σ=25 。该商品每件进价为8元，售价为15元，处理价为5元，缺货供应没有损失。问最佳订货批量应是多少？
这是课程设计题目。比较急，请各位赐教，谢谢。

Answer 1

最佳订货批量 摘 要 设某货物的需求量呈正态分布，已知其均值u=150 ，标准差σ=25 。该商品每件进价为8元，售价为15元，处理价为5元，缺货供应没有损失。问最佳订货批量应是多少？ 一．问题的分析订货单位购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以订货单位每天如果购进的上铺太少，不够买的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天商品的需求量是随机的，致使进货单位每天的收入也是随机的，因此衡量进货单位的收入，不能是订货单位每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖出商品的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于订货单位每天收入的期望值，以下简称平均收入。 二．符号的约定b 购进价格a 出售价格c 处理价格 三．模型的基本假设 假设订货单位已经通过自己的经验或其它渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天商品的需求量为r件的概率是 ，（r＝0,1,2,…）。不考虑有重大事件发生时卖出商品的高峰期，也不考虑风雨天气时卖出商品的低谷期。 四．模型的建立与求解根据上面的符号约定，显然有 。设报童每天购进n件商品，因为需求量r是随机的，r可以小于n、等于n或大于n；由于报童每卖出一件商品赚 ，处理一件商品赔b－c，所以当这天的需求量r≤n，则他售出r件，退回n－r件，即赚了( )r，赔了(b－c)(n－r)；而当 时，则 件全部售出，即赚了(b－c)n。 记订货单位每天订n件商品时平均收入为 ，考虑到需求量为r的概率是 ，所以 ， (4.2-1) 问题归结为在 已知时，求n使 最大。 通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量，这时 转化为概率密度函数 ，这样(4.2-1)式变为：， (4.2-2) 计算 令 得 ， (4.2-3) 使订货单位日平均收入达到最大的购进量n应满足(4.2-3)因为 所以(4.2-3)式可变为 即有 (4.2-4) 根据需求量的概率密度P(r)的图形（如图4.3）很容易从(4.2-4)式确定购进量n。 在图中，用 分别表示曲线 下的两块面积，则(4.2-3)式又可记作：
图4.3 (4.2-5) 因为当购进 件商品时： 是需求量r不超过n的概率，即卖不完的概率； 是需求量r超过n的概率，即卖完的概率；所以(4.2-3)式表明：购进的件数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一件赚的钱a－b与处理一件赔的钱b－c之比。显然，当订货单位出售商品与处理商品的赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。我们假设问题中订货单位的需求量服从均值100份均方差25份的正态分布按照上面的模型，根据(4.2-4)式，因为 a－b＝7 ,b－c＝3 , 3721=PP, r～N( , 其中 μ＝100 ,σ＝25 查表可得 n＝μ＋0.4σ＝163.1100即：每天订货163.1100件为最佳。 五.参考文献 1．《数学模型 第二版》，姜启源，高等教育出版社，1999 2．《数学建模案例》，姜启源，谢金星，高等教育出版社，20033．数学建模案例精选 朱道元等编著 北京：科学出版社，20034．数学建模实验 周义仓，赫孝良编 西安：西安交通大学出版社，19995．数学建模案例分析 白其峥主编 北京：海洋出版社，2000