两道微积分题(急急急急)

Question

1·导数d/dx ∫(x^2,1) dt/(根号下1+t^4)=？有点看不懂题意，是不是先算后面 ∫(x^2,1) dt/(根号下1+t^4)，然后再求导数？

2 设函数z=x （根号下x^2+y^2）,则偏导数@z/@x=?我的思路是@z/@x=-Fx'/Fz'，Fx'会算，但是Fz'不会算

求高手指点，谢谢！

Answer 1

1·导数d/dx ∫(x²ï¼Œ1) dt/√(1+t⁴)=？
解：原式=[1/√(1+x⁸)][d(x²)/dx]=2x/√(1+x⁸)；
2 设函数z=x√(x²+y²)，求∂z/∂x，∂z/∂y。
解：∂z/∂x=√(x²+y²)+2x²/[2√(x²+y²)]=√(x²+y²)+x²/√(x²+y²)=(2x²+y²)/√(x²+y²)；
∂z/∂y=2xy/[2√(x²+y²)]=xy/√(x²+y²).
你引用的公式只适用于隐函数。即若方程F(x，y，z)=0能确定函数z=f(x，y)，那么在不解出显函数
表达式y=f(x，y)的情况下，可用公式：∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)；∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z)求偏导数。

追问

第一题没看懂，能再说详细一点吗，计算的步骤是怎么样的呢，可以用括号加以说明，谢谢

追答

直接套公式：(d/dt)∫[a，b(t)]f(x)dx=f(b)(db/dt)； [a，b(t)]中a是下限，b(t)是上限。
用在本题中，要把公式中的x和t互换，即(d/dx)∫[a，b(x)]f(t)dt=f(b)(db/dx)，在这里，b=x².

追问

第一题：f(b)又是什么，天为什么b又等于x^2，你给的公式里面a=x^2啊，那还不如直接把等式右边的b写成a。我们书上也没有这个公式。这道题不能够一步一步地理解每一步的数学定义来计算吗？你给的公式我也没法理解。第二题：我们书上没有这个公式，∂z/∂x=-(∂F/∂x)和(∂F/∂z)是什么意思，不是有个负号吗，约掉了？求∂z/∂x的意思就是对x求导，，为什么不能直接求导算出答案？

追答

(1)我用与本题一致的公式回答你的问题：(d/dx)∫[a，b(x)]f(t)dt=f(b)(db/dx)，
其中a是常量，是积分下限，在本题中，a=1；b(x)=x²æ˜¯ä¸Šé™ï¼›f(t)=1/√(1+t⁴)是被积函数；
f(b)=f(x²)=1/√[1+(x²)⁴]=1/√(1+x⁸)；db/dx=d(x²)/dx=2x.
这里下限a是常量，如果下限a也是变量a(x)，公式更复杂。
一般的高数教材不讲这个公式。
(2).隐函数的求导公式，任何一本高数教材上都有。方程F(x，y，z)=0能确定z=f(x，y)，
那么在不解
出z=f(x，y)的情况下，可直接用F(x，y，z)=0求z对x，和z对y的偏导数。
例。已知x²/24+y²/12+z²/6=1，求∂z/∂x，∂z/∂y.
解：在这里，若解出z=f(x，y)再求导是件很麻烦的事情。
最好的办法是：
作函数F(x，y，z)=x²/24+y²/12+z²/6-1=0
那么∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)=-(x/12)/(z/3)=-x/(4z)；
∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z)=-(y/6)/(z/3)=-y/(2z).

追问

第二题你写的这个例题我懂了，但是提问的这道题还是没有懂，麻烦你再详细讲解一下行吗，我不知道：∂z/∂x=√(x²+y²)+2x²/[2√(x²+y²)]怎么算出来的，就是用你补充的那个公式∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)，但是(∂F/∂x）和(∂F/∂z)要怎么算，

追答

设函数z=x√(x²+y²)，求∂z/∂x，∂z/∂y
这是显函数，没必要用隐函数求导公式，如果你一定要用，那要这样用：
移项，作函数F(x，y，z)=z-x√(x²+y²)=0，就可以用上隐函数的求导公式了。这时：
∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)=-[-√(x²+y²)-x²/√(x²+y²)]/1 [在这里，(∂F/∂z)=1]
=(2x²+y²)/√(x²+y²)
∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z)=-[-xy/√(x²+y²)]/1=xy/√(x²+y²)].

追问

我想问的是你用的显函数的方法里面∂z/∂x是怎么算的？你直接就把答案写出来了我不懂啊

追答

函数z=x√(x²+y²)，求∂z/∂x，∂z/∂y；
对x求导时，x√(x²+y²)是两个函数的积，要用(uv)'=u'v+uv'，这里u=x，v=√(x²+y²)；
∂z/∂x=x'√(x²+y²)+x[√(x²+y²)]' [(把y看作常量)，[√(x²+y²)]'=2x/[2[√(x²+y²)]=x/√(x²+y²)；]
=√(x²+y²)+x²/√(x²+y²)；
对y求导是把x看作常量。
∂z/∂y=x(2y)/[2√(x²+y²)]=xy/√(x²+y²).