函数 f(x,y)=2x+y-ln(x^2+y^2)在点(1,1)沿 a=(-4,3) 方向的方向？

Answer 1

我们可以按照以下步骤求解：
第一步，首先求函数 $f(x,y) = 2x + y - \ln(x^2 + y^2)$ 在点 $(1,1)$ 处的梯度，梯度是一个向量，其方向是函数在该点的变化最快的方向。
第二步，根据多元函数的梯度计算公式，梯度 $\nabla f(x,y)$ 在点 $(1,1)$ 处的值等于函数在该点的偏导数之和。
第三步，求函数 $f(x,y)$ 对 $x$ 的偏导数 $f_x(x,y)$ 和对 $y$ 的偏导数 $f_y(x,y)$，并计算在点 $(1,1)$ 处的值。
第四步，根据偏导数的计算公式，有
$f_x(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 2 - \frac{2x}{(x^2+y^2)}$
$f_y(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 1 - \frac{2y}{(x^2+y^2)}$
第五步，将 $x=1$ 和 $y=1$ 代入 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 中，得到
$f_x(1,1) = 2 - \frac{2}{(1^2+1^2)} = 1$
$f_y(1,1) = 1 - \frac{2}{(1^2+1^2)} = 0$
第六步，根据梯度的计算公式，梯度 $\nabla f(x,y)$ 在点 $(1,1)$ 处的值等于 $f_x(1,1)$ 和 $f_y(1,1)$ 的向量和。
第七步，根据向量的加法运算规则，有
$\nabla f(1,1) = (f_x(1,1), f_y(1,1)) = (1,0)$
第八步，由于向量 $\nabla f(1,1) = (1,0)$ 的方向是 $x$ 轴的正方向，而题干中给定的方向向量 $a=(-4,3)$ 的方向是 $x$ 轴的负方向，因此这两者方向不一致。
综上，函数 $f(x,y) = 2x + y - \ln(x^2 + y^2)$ 在点 $(1,1)$ 沿 $a=(-4,3)$ 方向的方向不一致。

Answer 2

向量 a = (-4, 3) ，单位向量 a^0 = (-4/5, 3/5),
f(x,y) = 2x+y-ln(x^2+y^2), f'x = 2-2x/(x^2+y^2), f'y = 1-2y/(x^2+y^2)
在点 (1, 1) , f'x = 1, f'y = 0
函数 f(x,y) = 2x+y-ln(x^2+y^2) 在点 (1, 1) 沿 a = (-4, 3) 方向的方向导数是
∂f/∂a = 1 · (-4/5) + 0 · (3/5) = - 4/5