如何证面面平行的判定定理

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面面平行的判定定理的证明方法有反证法、判定定理、向量法。

一、反证法

假设这两个平面不平行，那么它们相交，设交线为l。

∵a∥β

∴a与β无交点。

同理，b与β无交点。

∵l是两个平面的交线，l?β。

∴a与l无交点，b与l无交点，那么它们平行或异面。

又∵a?α，b?α，l？α，即它们不异面。

∴a∥l，b∥l ∴a∥b 这与已知条件a∩b=A矛盾，因此假设不成立，α∥β。

二、判定定理

如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

已知α⊥l，β⊥l。求证α∥β。

证明：假设它们不平行，那么它们相交，设交线为m。

设l与α的垂足为A，与β的垂足为B，在m上任意取一点P，连接PA、PB。

∵l⊥α，AP⊂α。

∴l⊥AP同理，l⊥BP由于P和l构成一个平面，在这个新的平面上经过P就有两条直线AP、BP与l垂直，与垂直定理矛盾。

∴假设不成立，α∥β。

三、向量法证明

假设直线a，b的方向向量为a，b，平面β的法向量为p。

∵a∥β，b∥β。

∴a⊥p，b⊥p，即a·p=0，b·p=0。

∵a，b是α内两条相交直线。

∴设有任一向量c？α，根据平面向量基本定理可知，存在一对有序数对（x，y）使得c=xa+yb 那么p·c=p·（xa+yb）=xp·a+yp·b=0 即p⊥c 由c的任意性可知p与α内任一向量都垂直，即p也是α的法向量。

∴α∥β