什么是函数?

Answer 1

Answer 2

　　函数的定义有传统概念和近世概念之分：
　　①传统概念：
　　一般地，在某一变化过程中有两个变量x、y，其中一个变量y随着另一个变量x的变化而变化，并且对于任意一个x的值，y都有唯一的值与它对应，则我们把变量y叫做关于变量x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。
　　②近世概念：
　　设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有惟一确定的数y和它对应，并把y记为f(x)，那么，我们就把f叫做从A到B的函数，记为f：A→B；或者y=f(x)，x∈A，其中A叫做定义域，把f(x)的取值集合叫做值域，记为f(A)。
　　这里f是一种关系，也可以看做一个运算符号，例如，函数f(x)=x²+x，可以把f看成是对x的算符，即让x先和自身做普通乘法运算之后，再加上自身。当然函数本质上还是“变”和单值对应，即f通过某种运算把x变成y，并且只能变出一个数y。

Answer 3

函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为 f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。
若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。
一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。

记作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函数的定义域，记为D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的集合。

Answer 4

函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为
f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。 概念在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。自变量：函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。映射定义设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a);
a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）几何含义函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图象与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。集合论如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。其特点：值域和定义域重合单值性：取区间任意两变量x1,x2,且x1<x2,如果对应的y1<y2,则函数在此区间单调递增,反之,单调递减

Answer 5

设X,Y是两个集合，并设P(x,y)是一个涉及x∈X，y∈Y的性质，且任给x∈X，存在唯一一个y∈Y，使得P(x,y)成立，那么我们定义由P确定的定义域为X，值域为Y的函数f是这样的对象，它使得对于任意和给定的x∈X，指定唯一一个f(x)∈Y，使得P(x,f(x))成立。于是，对于任意的x∈X，y∈Y，y=f(x)等价于P(x,y)成立。这是陶哲轩实分析上的函数的严格定义，当然这个定义用到了集合这个概念，集合是通过公理定义的，有兴趣推荐你去看陶哲轩实分析。如果你还没有接触大学数学，那么你可以把函数简单的理解为一种对应关系，