叉积和点积分别是什么

Question

如题

Answer 1

叉积 概述叉积，又名叉乘。 最早源自于三维向量空间的运算，因此也叫向量的外积，或者向量积。 两个三维向量的叉积等于一个新的向量， 该向量与前两者垂直，且长度为前两者张成的平行四边形面积， 其方向按照右手螺旋决定。 [编辑本段]数学定义 　　在三维向量空间中 ， 假设a和b是两个向量， 那么它们的叉积c=aXb可如下严格定义。
　　（1）|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>
　　（2）c⊥a， 且c⊥b，
　　（3）c的方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。 [编辑本段]点积 　　又称数量积或内积。
　　两个向量u,v的点积是一个标量，用u · v表示。在三维空间中它被定义为：uxvx + uyvy + uzvz。
　　点积的值由以下三个值确定：
　　u的大小v的大小u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。

Answer 2

向量的点积：

假设向量u(ux, uy)和v(vx, vy)，u和v之间的夹角为α，从三角形的边角关系等式出发，可作出如下简单推导：

|u - v||u - v| = |u||u| + |v||v| - 2|u||v|cosα

===>

（ux - vx）2 + (uy - vy)2 = ux2 + uy2 +vx2+vy2- 2|u||v|cosα

===>

-2uxvx - 2uyvy = -2|u||v|cosα

===>

cosα = (uxvx + uyvy) / (|u||v|)

这样，就可以根据向量u和v的坐标值计算出它们之间的夹角。

定义u和v的点积运算： u . v = (uxvx + uyvy)，

上面的cosα可简写成： cosα = u . v / (|u||v|)

当u . v = 0时（即uxvx + uyvy = 0），向量u和v垂直；当u . v > 0时，u和v之间的夹角为锐角；当u . v < 0时，u和v之间的夹角为钝角。

可以将运算从2维推广到3维。

向量的叉积：

假设存在向量u(ux, uy, uz), v(vx, vy, vz), 求同时垂直于向量u, v的向量w(wx, wy, wz).

因为w与u垂直，同时w与v垂直，所以w . u = 0, w . v = 0; 即

uxwx + uywy + uzwz = 0;
vxwx + vywy + vzwz = 0;

分别削去方程组的wy和wx变量的系数，得到如下两个等价方程式：

(uxvy - uyvx)wx = (uyvz - uzvy)wz
(uxvy - uyvx)wy = (uzvx - uxvz)wz

于是向量w的一般解形式为：

w = (wx, wy, wz) = ((uyvz - uzvy)wz / (uxvy - uyvx), (uzvx - uxvz)wz / (uxvy - uyvx), wz)
= (wz / (uxvy - uyvx) * (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx))

因为：

ux(uyvz - uzvy) + uy(uzvx - uxvz) + uz(uxvy - uyvx)
= uxuyvz - uxuzvy + uyuzvx - uyuxvz + uzuxvy - uzuyvx
= (uxuyvz - uyuxvz) + (uyuzvx - uzuyvx) + (uzuxvy - uxuzvy)
= 0 + 0 + 0 = 0

vx(uyvz - uzvy) + vy(uzvx - uxvz) + vz(uxvy - uyvx)
= vxuyvz - vxuzvy + vyuzvx - vyuxvz + vzuxvy - vzuyvx
= (vxuyvz - vzuyvx) + (vyuzvx - vxuzvy) + (vzuxvy - vyuxvz)
= 0 + 0 + 0 = 0

由此可知，向量(uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)是同时垂直于向量u和v的。

为此，定义向量u = (ux, uy, uz)和向量 v = (vx, vy, vz)的叉积运算为：u x v = (uyvz - uzvy, uzvx - uxvz, uxvy - uyvx)

上面计算的结果可简单概括为：向量u x v垂直于向量u和v。

根据叉积的定义，沿x坐标轴的向量i = (1, 0, 0)和沿y坐标轴的向量j = (0, 1, 0)的叉积为：

i x j = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1) = k

同理可计算j x k:

j x k = (0, 1, 0) x (0, 0, 1) = (1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 0 * 0) = (1, 0, 0) = i

以及k x i:

k x i = (0, 0, 1) x (1, 0, 0) = (0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0) = (0, 1, 0) = j

由叉积的定义，可知：

v x u = (vyuz - vzuy, vzux - vxuz, vxuy - vyux) = - (u x v)

Answer 3

都是向量的积，但运算是不一样的叉积用的是右手法则，相对点积难一点点积就是向量之间的一种乘法关系