逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1
1．去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。
2．从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一个点。
以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。
计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和Σα
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度
=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。
所以，多面体各面的内角总和：
Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度
=（V-2）·360度（2）
由(1)(2)得：(E-F) ·360度=（V-2）·360度
所以 V+F-E=2.
用拓扑学方法证明
尝试一下用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末
F-E+V=2。
证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：
1．把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
2．去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
3．对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
4．如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
5．如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
6．这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
7．因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
8．如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1
成立，于是欧拉公式：F-E+V=2 得证。 例：足球表面由五边形和六边形的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边形和六边形？
答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E+V=2，其中F,E,V分别表示面，棱，顶点的个数
设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么
面数F=x+y
棱数E=(5x+6y)/2（每条棱由两块皮子共用）
顶点数V=(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）
由欧拉公式，x+y－(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2，
解得x=12。所以，共有12块黑皮子
所以，黑皮子一共有12×5=60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的
对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。
所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的
那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20
所以共有20块白皮子
（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接
所以，五边形的个数x=3y/5。
之前求得x=12，所以y=20）
欧拉定理运用方法
首先，考虑分式表示的欧拉定理。当r=0、1时，表达式的值为0；当r=2时，值为1；当r=3时，值为a+b+c；当r=4时，值为a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca；r=5时，值为a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c）+ca(c+a)+abc。一般地，当r为正整数n时，表达式等于a^n*b^j*c^k的总和，其中...
欧拉定理的证明应用
因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=11．去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。2．从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一个点。以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上...
欧拉公式如何证明?
利用欧拉公式：e^x=5→x=ln5;所以：e^(ix)=(e^x)^i=5^i=cos(ln5)+i*sin(ln5)5^(3+i)=125*5^i =125*(cos(ln5)+i*sin(ln5))=125cos(ln5)+i*125*sin(ln5)
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