今年的全国初中竞赛题，不懂麻烦解一下，要过程

Question

求所有整数解

x^2+y^2=208(x-y)

谢谢``

Answer 1

由原方程知 x>y
原方程可化为：(x-y)(208-(x+y))=2y^2
∵x-y与208-(x+y)具有同奇偶性，
∴x-y必须是偶数,那末x+y也为偶数
设 x-y=2p x+y=2q 则原方程化为：2p(208-2q)=2y^2
即2p(104-q)=y^2
这时y必须为偶数，
又因x+y为偶数，所以x也必须为偶数。
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设x=2t y=2s
带入原方程并化简可得：t^2+s^2=104(t-s),对比原方程可知：
t,s必为偶数，于是可设 t=2m s=2n,
再代入前方程化简得：m^2+n^2=52(m-n)
同理设 m=2c n=2d 有 c^2+d^2=26(c-d);
再设 c=2a d=2b 有 a^2+b^2=13(a-b)
该式可化为：
(a-b)(13-a-b)=2b^2............①
至此，a-b与13-a-b的奇偶性不同了，这时有x=16a y=16b
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将①式化为(a-13/2)^2 + (b+13/2)^2 = 2×(13/2)^2
∵a,b必须为正整数
∴所以当(a-13/2)^2=0时，b可取到最大值：√2*13/2-13/2≈2.69
∵b只能取正整数
∴b只能取1，2两个值。
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将b=1带入①式，解得：a=(13±√113)/2(不是整数，舍去)
将b=2带入①式，解得：a=(13±7)/2,即a=3或a=10
这时y=16b=16×2=32,
而x=16a 即 x=48 或 x=160
∴原方程有两组解 (x=48,y=32) 和(x=160,y=32)
解毕

注：a^2表示a的平方
√113表示113的平方根

Answer 2

厉害！