高数问题：此题最后一个等号是什么鬼？

Question

高数问题：此题最后一个等号是什么鬼？完全看不懂

Answer 1

答：
1、本题是道好题，求解比较新颖！
2、第二个等号用的是罗比达法则；
3、第三个等号用的是积分中值定理；
4、第五个等号用的是一节全微分的概念，即：
Δf
=f(c,x) -f(0,0).....................题设里一定是f(0,0)=0
=f'x·Δc+f'y·Δx+o(√(c²+x²))
=f'x·(c-0)+f'y·(x-0)+o(√(c²+x²))
=f'x·c+f'y·x+o(√(c²+x²))

答案应该是：
∵0≤c≤x²
∴0≤c/x≤x
由夹逼准则：
lim(x→0+) f'x(0,0)c/x =0
o[√(c²+x²)]比x高阶
∴原极限=(-1/4)f'y(0,0)
另一种解法是，
lim(x→0+) ∫(0,x²) f(t,x)dx/4x³
=lim(x→0+) {f(x²,x)·(x²)' -f(0,x)·0'+∫(0,x²) [∂f(t,x)/∂x]dx} /12x²...罗比达法则上下再对x求导！
=lim(x→0+) {∫(0,x²) [∂f(t,x)/∂x]dx} /12x²

追问

请问第一个等号积分次序是怎么交换的呢？表示看不懂

另外答案只有f'y，f'x不知道为什么舍去了

追答

第一个等号：
-∫(0,x)dx∫(0,u²) f(t,u)dt
=-∫(0,x) [∫(0,u²) f(t,u)dt] dx
求导，自然就是：
-∫(0,u²) f(t,u)dt

追问

我就是问第一个等号怎么得来的啊，怎么交换积分次序的

追答

晕死，画个图啊，这个很简单的！

追问

画不出来😭空间想象力太差

追答

我这里没有办法画！

追问

好吧 给你最佳了 有空能画下就好了！还有为什么答案把f'x约掉了我也没懂！

Answer 2

二元函数的泰勒公式。

追问

那为什么约的只剩f'y了？还有一项呢？

追答

看题目的条件，是不是fx'(0,0)=0，而最后一项o(√(c²+x²))/x的极限是0。

追问

只有f(0,0)=0，没有f'x的条件

追答

哦，知道了，c介于0与x²之间，所以c/x介于0与x之间，极限也是0。所以分式拆成3个式子相加后，只剩下fy'(0,0)了。

追问

这难道不是0/0型吗……可以直接去掉一个吗