一元二次方程解法选择

Question

一元二次方程的题目，有什么方法可以快速浏览题目之后想出最快的解法，就是公式法，配方法，因式分解法，直接开平方法4种方法中，有什么技巧可以看题目之后迅速想起用什么解法最方便？谢了

Answer 1

一、两项的：如含有一次项，先提公因式；如含有常数项，用直接开平方法或平方差。二、三项的：（1）能够用因式分解法的尽可能用（相对比较简便），包括用完全平方公式、十字相乘法（不知老师补充没有，很方便的）；（2）不能用因式分解法的，如果一次项系数与二次项系数的比值是偶数（如x^2＋2x－1＝0），可以用配方法；（3）以上两种方法有困难，一般用公式法，也可以不用配方法或尽量少用配方法，直接用公式法。

Answer 2

方程右边是“0”，左边是一个平方差的形式，可以考虑利用因式分解法，得 ，可得 或 ，从而 ， ．
说明：在解一元二次方程的时候，我们可以方程的特点出发，将方程变形为一边是关于未知数的完全平方式，另一边是一个非负的常数；或者将方程一边变为是“0”，另一边是分解成的两个一次因式的积，运用“降次”的化归思想设法把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

Answer 3

1、直接开平方法：
　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±根号下n+m .
　　例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
　　（1）解：(3x+1)2=7×
　　∴(3x+1)2=5
　　∴3x+1=±(注意不要丢解)
　　∴x=
　　∴原方程的解为x1=,x2=
　　（2）解： 9x2-24x+16=11
　　∴(3x-4)2=11
　　∴3x-4=±
　　∴x=
　　∴原方程的解为x1=,x2=
　　2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
　　先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
　　将二次项系数化为1：x2+x=-
　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
　　方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
　　当b^2-4ac≥0时，x+ =±
　　∴x=(这就是求根公式)
　　例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注：X^2是X的平方）
　　解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
　　将二次项系数化为1：x2-x=
　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
　　配方：(x-)2=
　　直接开平方得：x-=±
　　∴x=
　　∴原方程的解为x1=,x2= .
　　3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
　　例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
　　解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
　　∴a=2, b=-8, c=5
　　b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
　　∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)
　　∴原方程的解为x1=,x2= .
　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
　　例4．用因式分解法解下列方程：
　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
　　(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
　　x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
　　(2)解：2x2+3x=0
　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=0，x2=-是原方程的解。
　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。(3)解：6x2+5x-50=0
　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
　　∴2x-5=0或3x+10=0
　　∴x1=, x2=- 是原方程的解。
　　(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
　　(x-2)(x-2 )=0
　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
　　小结：
　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
　　直接开平方法是最基本的方法。
　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
　　解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。