用微积分方法证明平方和公式

Question

在复习考研，遇到了一个题目需要用到平方和公式。自己没记住，然后用级数推导了一下，发现怎么也推导不出来。结果总是错误的，很苦恼，请大神指教

Answer 1

你的问题出在了第一步，第一步如果是关于n的函数项级数，那么求导后再求和应该是2/（1-n），但是你的通向写的不对，如果按照你的方法写，是从1加到n的n平方，那么sn就应该是n的三次方，很显然不能用无穷级数解了，要用无穷级数，你要先确定你的i和n的关系，否则就会乱套。还有就是我还是看不懂你第一行的最后一步怎么变过去的，直接能把求和号去掉，还没用迈克劳林展开式，那你前面对sn求导就是个人间悲剧

追问

那个是等差数列的求和公式。从1加到n，公差是1。

追答

那你没办法对sn求导啊，不是无穷级数怎么能逐项求导逐项积分？无穷级数可以逐项求导和积分的理论基础是改变有限项不改变收敛性和泰勒中值定理。

追问

哦，只是无穷级数才可以逐项求导，逐项积分吗?哎，大意了

追答

还有函数项无穷级数才可以求到积分，数项级数和一般求和求完导数都等于0，望采纳

Answer 2

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
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(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
……
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
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以上n个等式相加，得：
(n+1)^3-1^3=3(n^2+(n-1)^2+……+1^2]+3[n+(n-1)+……+1]+n
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n^2+(n-1)^2+……+1^2=(1/3)[(n+1)^3-1-3(n+1)n/2-n]=n^3/3+n^2/2+n/6

追问

网上有证明方法，我也会证。我就想问我的方法为啥不对，用微积分该怎么证明。或者为什么用微积分证明不了

追答

这里求的是有限项的和，级数通常用于求无穷项的和，所以首选还是应当用初等方法。

离散情形，理论上不可求导。

也许排列组合方面可以有简单的求和模型。

Answer 3

错得有点不应该啊，第一个和函数都表示错误了，后面就不用看了

追问

和函数没错啊，累加，等差数列，从1加到n。可能，错误在，不是无穷级数，无法各项逐一求导，然后积分。就像上面那位同学说的