高一数学题，题目答案如下，但不知道为什么

Question

例11 （2007年广东卷）已知是实数，函数，如果函数在区间[－1，1]上有零点，求的取值范围。
解：函数在区间[－1，1]上有零点，即方程在[－1，1]上有解。当＝0时，不符合题意，所以≠0
方程在[－1，1]上有解

为什么是af(-1)≥0，af(-1)≥0，-1/a∈【-1，1】，我不明白这个步骤是为什么，高一基础比较差，请详细解答，谢谢。

Answer 1

此题最好数形结合。

若函数y=f(x)=ax^2+bx+c在[m,n](m<n)上有两个根，则

a>0时，函数开口向上.首先，△>0才能保证函数有两个根。对称轴 -b/(2a)必然夹在两根之间，故m≤-b/(2a)≤n.然后要保证f(m)≥0，f(n)≥0（画图），看看我画的草图；

a<0时用类似的方法也可以得到f(m)≤0，f(n)≤0。

故af(m))≥0，af(n)≥0;且对称轴夹在两根之，，△>0.

有什么不懂的可以追问。希望能够帮到你。

追问

af(m))≥0，af(n)≥0是什么意思，为什么要用a乘以fn,,a是二次函数前面那个系数么，为什么要乘以a，题目怎么做我知道了，就是不知道为什么要乘以a

追答

可以分两种情况，即分类讨论：（a≠0）

若a>0，则f(m)≥0，f(n)≥0。请看图：两根夹在[m,n]内，即有m≤x1≤x2≤n.而f(x1)=0,f(x2)=0.

故当x ≤x1(取x=m)时，f(m)≥0；当x≥x2(取x=n)时，f(n)≥0.

若a<0，则f(m)≤0，f(n)≤0。请看图：两根夹在[m,n]内，即有m≤x1≤x2≤n.而f(x1)=0,f(x2)=0.

故当x â‰¤x1(取x=m)时，f(m)≤0；当x≥x2(取x=n)时，f(n)≤0.

所以对于有两个根夹在[m,n]的情况，要求式子a*f(m)≥0，a*f(n)≥0成立.（其实你也可以完全分上面两种情况讨论）

以上就是两根夹在在[m,n]的情况。

另外，对于本题，如果只有一个跟在[m,n]，有零点定理可知，要求f(m)*f(n)≤0.（我仅仅只画出可能的一种情况来说明此问题，还有3种情况相信你自己能够画出来）.

这几种情况，我画图表示一下。如果还不懂的话，随时欢迎继续追问。



Answer 2

亲 你的答案错了 少解 让我慢慢给你说 二次函数图像不是一个凹嘛 假设a是正数 那开口向上 如果函数值在两个端点都小于零那在定义域内图像和x轴就没交点了 如果让 Δ>0 也就是函数一定有根 并且让函数在定义域两端都大于零 那根就一定在定义域内了 这就是你写出来的方法求的东西 用a乘以函数是因为a还可能是负数 这样图像就是向下开口了 那端点函数值就得小于零 但是无论a正负 af（x）都是正的 所以这么算更便捷 但是还有另一种情况 当函数在定义域两端的值符号不同时 也就是在-1处大于零 在1处小于零 或者 在-1处小于零在1处大于零 因为二次函数连续所以也是一定有根的 所以你按这个思路解也会得到一组结果 可能最后结果也在你所写的结果里 但是这个过程是必须有的 没有一定会扣分的 希望我的回答对你有帮助

Answer 3

因为a不等于0时，这是个2次函数，图像为抛物线，f(-1)*f(1)小于等于0，这是表示在【-1,1】有1个解的条件。或字后面那堆是表示在【-1,1】有2个解的条件。