如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，E、F分别是棱B1C1、C1D1的中点．求证：

Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，E、F分别是棱B1C1、C1D1的中点．求证：（1）BD∥EF；（2）BD⊥面A A1 C1C．（3）平面AMN∥平面BDFE．

Answer 1

证：（1）如图，连接B₁D₁，由已知条件知：EF∥B₁D₁，
又BD∥B₁D₁，∴BD∥EF；
（2）由已知条件知：AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，即BD⊥AA₁；
又BD⊥AC，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C；
（3）设AC交BD于O，A₁C₁交MN于Q，交EF于P，则PQ∥AO，且PQ=AO，
∴四边形AOPQ是平行四边形，
∴AQ∥OP，OP?平面BDFE；
∴AQ∥平面BDFE，
又MN∥EF，EF?平面BDFE，
∴MN∥平面BDFE，MN∩AQ=Q；
∴平面AMN∥平面BDFE．