通过弹簧拉物体做功问题~高手进

Question

我参加物理竞赛，前几天竞赛辅导的时候，有一个看似很简单的题目：

有一质量为M=2kg的物体，其一端通过轻弹簧施一大小为30N的水平恒力F，若弹簧的劲度系数为k=100N/m，物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.3，求物体移动s=2m时的速度。

但是这个题目，我却找到了3种结果矛盾的做法，我的问题就是哪一种做法对，错误的做法为什么错了 **

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I.老师给出了一个做法，我们称这个做法是“解法一”：

根据能量守恒定律来做。取弹簧和物体M构成的系统为对象，机械能的变化等于外力功和内力中的非保守力做功之和，即：W外 + W非保守内 = E2 - E1

设末态（物体移动2m时）物体的速度为v，末态弹簧被拉长x，
这个题目中，系统内力不做功，只有拉力F，和摩擦力f做功，机械能初态为0，末态包括M的动能（1/2 Mv^2）和弹簧的弹性势能（1/2 kx^2），弹簧是轻的，不具有动能，（力做

功取力作用点的位移）所以：

F(s+x) - fs = 1/2 Mv^2 + 1/2 kx^2

另：F=kx，f=μMg，联立，
可求得v=(105/2)^(1/2)=7.24569 (m/s)

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II.我的一个同学的做法，称为“解法二”：

由于弹簧是轻的，所以根据牛顿第二定律，弹簧所受外合力F=ma，由于m=0，所以轻弹簧即使有加速度，受力也是平衡的。

那么，对弹簧受力分析，受到物体对弹簧的拉力T，和水平拉力F，而T=F，又根据牛顿第三定律，物体对弹簧的拉力等于弹簧对物体的拉力。所以，弹簧给物体的力也是F=30N。

现在我们单独分析物体M，受2个力，一个是弹簧给的30N拉力，一个地面摩擦，由于物体M可以直接看做质点，根据质点的动能定理（这里的F'是弹簧直接给物体的拉力，这个力作

用点的位移是s）：

F's - fs = 1/2 Mv^2

可以解得，v=4根3=6.9282 (m/s)

这个答案和解法一的答案不一致

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III.我又想到一个做法，称为“解法三”：

对物体和弹簧组成的系统，运用质点组的牛顿第二定律，有

F - f = Ma + ma'

等式左侧是整个系统受到的合外力，右侧，M是物体质量，a是物体加速度，m是弹簧质量，a'是弹簧加速度。由于弹簧是轻的，所以m=0，故而

F - f = Ma

所以，a = 12 (m/s^2)
而，以上分析对任意时刻均成立，所以物体做匀加速直线运动，根据运动学规律，有
v^2 = 2as
所以v=4根3=6.9282 (m/s)
这和解法二答案一致。

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真相只有一个，所以上面的解法肯定有错误的，这个问题，我也问了我们竞赛的老师，他是后两种做法是错误的，包括参加竞赛的同学，也普遍认为后第一种做法正确，两种做法

错误，但是理由不让我信服。下面来比较一下这3个做法：

本质上，后两种做法其实是一样的，都没有用到劲度系数k。我也思考了很长时间，到底与k有没有关系。
弹簧从原长，慢慢伸长，这是一个渐变的过程，所以弹簧给物体的力，似乎也不是瞬间加到30N，似乎要考虑弹簧伸长的过程。
但是弹簧的质量是0，这是这个问题相对诡异，似乎弹簧瞬间就能拉开……

另外，我在百度知道上搜这个问题，有一个问过这个原题了，但是后面的回答，包括最佳答案，显然都欠考虑，对于物体不能看做质点时，功的公式中的位移应该取力的作用点的

位移。所以大家不要引用网上的，或者其他不权威的资料。

我思考了很多，但是始终找不到这3种解法的错误。
不过，第一种做法应该是正确的，很多竞赛书的解答都是第一种，正确率在90%以上，当然了，书上的老师的都不能说是一定正确，希望高手能给我解疑！

答案满意，再追加分数！
感谢你们的回答。

1.大部分人认同第一种做法，但是第一种做法的结果却要比后2种做法的结果要大，那是不是意味着，在物体受力位移的2m内，平均拉力大于30N？
2.还有兄弟说，不能对质量为0的物体受力分析。但我们可以考虑这样一个过程，假设弹簧质量为m，那么m和最后的速度v就建立某种关系，当m趋向于0的时候，速度v总是存在的吧

3.还有，TO - 金枪鱼2008 - 高级魔法师 七级：
我很高兴能看到相反的观点。你说轻弹簧的弹性势能应该是kx^2，你用定义说明作论据，我也无法否定。
但我有一个疑问，难道弹簧具有的弹性势能不是仅仅与形变程度有关么？也就是说，对于同样一弹簧，我以不同的过程拉，使之伸长量一样，弹性势能也不同？
另外，外力也是线性增加的，这一点我很迷惑：我们用手拉弹簧，手拉弹簧的力和弹簧反过来对手的力应该是作用力与反作用力的关系，时时等大的。而弹簧给手的弹性力又正比于弹簧的伸长。那我在弹簧还没有伸长的时候，对弹簧施加一个较大的力，那么弹簧对手的反作用力也会等大，但此时弹簧还来不及伸长，那样不是不符合胡克定律么？我好像对F=kx中的这个F到底是哪个力有点晕……

Answer 1

以*super_lcr*的睿智，一定已经知道答案是什么了吧。：）恭喜恭喜！同时，为出题者和你的所谓的老师汗颜一下！-_-'
建议把分数给*金枪鱼2008*。虽然他的陈述有点小差错，但他是第一个发现症结所在的人，所以，可以毫无夸张的把这个问题称作“金枪鱼悖论”。：）
*cxl83*则给出了最完整的解答，可以采纳为答案。可是这样好像不能把分给*金枪鱼2008*了哦～：P
不过，最精彩的是*幸存折*的回答——简洁，但一针见血！很显然，他思考过这类问题，所以那么自信！拜服……
顺着*幸存折*的简谐运动理论，先在弹簧的右端（即F的作用点）按一个质量为m的质点，这样一个系统就不再是病态的了。在F和f的作用下，整个系统的质心将作匀加速运动；其速度的图像是一条从0开始，以一定斜率上升的直线。而M和m在这基础上又各自作简谐振动；它们各自速度的图像是缠绕在前面直线上的一条正弦曲线。如果M>m，那么系统的质心靠近M侧，所以M的振动幅度将比m的小；但它们的振动频率是一致的。按照*super_lcr*的极限思想，让m趋向于0，那么，系统的质心将越来越靠近M，最终与M重合。此时，M的振动幅度变为0，m的振动幅度变为x=F/k；可是它们的振动频率却变为无限大——这意味着，一开始弹簧被拉长x是瞬时的！但是弹簧并非停留在被拉长x的状态，而是作着简谐振动。简谐振动意味着动能和势能之间在不断的相互转化。这里，势能显然是弹簧的（额外的，也就是超过1/2 k x^2的那部分）弹性势能，而动能是m的动能！既然m已经是0了，何以来动能呢？原因是，在1/2 m v^2中，虽然m是0，但v是无穷大，因此，就像0/0不定式，它们的乘积可能是个有限值。虽然这一现象只存在于数学上，但我相信，实际中不会偏离太多。完全可以用一个相对大质量的M和轻质的弹簧组成的系统来做实验——实验始终是最有说服力的证据！实际中，蕴藏在简谐振动中的能量会慢慢地消失在各种阻尼（比如空气）中。但，无论如何，这部分能量不会（至少不会全部）跑到M中！

Answer 2

你说的其实挺对的。
一上来，无论你用多大的力拉弹簧，弹簧给物体的力一定是慢慢增加到30N的，是变化的。因为弹簧给他两端的力只和形变有关系的。而物理中是没有突变过程的，这是和数学的区别，你只能说变化的很快，但是并没有突变，实际上这里变化的也并不快。
至于你说如果一上来加了一个很大力会怎么样，这是没法说的，因为这种情况是超出生活的，实际是不可能有轻簧的，所以要回避这种处理方式。
你第三种方法实际上是和第二种本质上一下，都是忽略了变化储能的过程。
把消息补在这。
第一种做法，拉力变化应该是0~30之后，就恒定为30，题设也是这样的。
之所以第一种速度比较大，是因为弹簧形变了，伸长了，所以拉力作用点位移长于2m，所以即使平均拉力比30N，乘起来之后的功也可能会比一直是30，但是位移按2m算的后两种做法大。后两种做法的根本错误，就是忽略了形变带来的能量，位移等变化。

我确实错了，摩擦力做功就是12J，至于为什么平均作用力大于30N 我想不明白

Answer 3

第一种方法错误。
看第一种方法的式子；
F(s+x) - fs = 1/2 Mv^2 + 1/2 kx^2
F=kx
这里轻弹簧受的是恒力，如果要计算轻弹簧的弹性势能，用一般的1/2 kx^2 就不对了。根据弹性势能的定义，把弹簧拉长x，外力克服弹簧弹力做的功叫弹性势能。对一般的弹簧，弹簧没伸长时弹力是0，伸长x时，弹力是kx，而且在这个过程中是线性变化的，[外力也是逐渐增大，线性变化的]因此在这个过程中的平均弹力是1/2kx，伸长x，做功就是1/2 kx^2。而对于轻弹簧，用恒力kx使弹簧伸长x的过程中，弹簧受力始终平衡，弹力始终是等于恒力kx，伸长x，做功就是kx^2。于是这里的轻弹簧弹性势能公式应该就是kx^2。
因此，第一种方法错误，错误的原因是死板地套用弹性势能公式，而没有考虑到这里的轻弹簧受力是恒力。
如果把式子F(s+x) - fs = 1/2 Mv^2 + 1/2 kx^2 中的1/2 kx^2 改为 kx^2，即得到F(s+x) - fs = 1/2 Mv^2 + kx^2，因为F=kx，Fx = kx^2，代入化简得到Fs - fs = 1/2 Mv^2，即与后面的方法一样了。

Answer 4

地二和第三错了
第二种方法错在弹簧从开始拉到具有一定势能是要时间的，也就是说，开始时物体受的力肯定是变力，而不是30N的恒力
第三种方法一样
能看出你已经考虑到这个问题了
关键是弹簧虽没有质量，但也不是瞬时被拉开，因为虽然弹簧没有动能，但是依然存在势能开始时拉力要做功变成弹性势能，而不是从开始起就全变成物体的动能解法二：你是拿弹簧最右端（假设你是向右拉的）所受的力去乘弹簧最左端的位移，所以错。因为弹簧不是绳子，物体是位移是2M，但是你所施加拉力接触点的位移不是2米，因为弹簧是不断伸长的。
解法三：你直接就用v^2 = 2as ，我找了半天也没看出来哪说初速度为0。你说任何时候都成立，那么初速度随便设，加速度还是你算的12，那么末速度也是变化的啊。
解法二和解法三都默认了初速度为0，所以这应该是比答案数值小的原因。

，无论你用多大的力拉弹簧，弹簧给物体的力一定是慢慢增加到30N的，是变化的。因为弹簧给他两端的力只和形变有关系的。而物理中是没有突变过程的，这是和数学的区别，你只能说变化的很快，但是并没有突变，实际上这里变化的也并不快。
至于你说如果一上来加了一个很大力会怎么样，这是没法说的，因为这种情况是超出生活的，实际是不可能有轻簧的，所以要回避这种处理方式。
你第三种方法实际上是和第二种本质上一下，都是忽略了变化储能的过程。
把消息补在这。
第一种做法，拉力变化应该是0~30之后，就恒定为30，题设也是这样的。
之所以第一种速度比较大，是因为弹簧形变了，伸长了，所以拉力作用点位移长于2m，所以即使平均拉力比30N，乘起来之后的功也可能会比一直是30，但是位移按2m算的后两种做法大。后两种做法的根本错误，就是忽略了形变带来的能量，位移等变化。

Answer 5

请你再读一下我原先的答复（见下），关键是你不能既认为弹簧两端在都等于30N的恒力下伸长，又认为弹簧满足胡克定律。这两者本身就是矛盾的。
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你的做法的实质是认为弹簧在F=30N的恒力下瞬间拉长了0.3m，然后弹簧状态不变，拉着木块匀加速前进。按这个意思，弹簧积蓄的弹性势能就不是kx^2/2了，是30N×0.3m。多了一倍。如果按这个想法以你老师的方法的形式列式的话应该是这样
F(s+x) - fs = 1/2 Mv^2 + （kx）*x
注意弹性势能变了！！！
这样算出来的结果是和你一样的。
之所以产生这样的区别就是对弹簧伸长的过程理解不同。一个是认为弹簧在伸长过程中满足F=kx，另一个认为弹簧在恒力F=30N作用下瞬间伸长0.3m。对于实际上有质量的弹簧，当一端加上恒力之后，另一端受到的力是和弹簧伸长量有关的，一开始不等于恒力。所以质心加速运动，平衡时还要继续伸长，然后弹力大于恒力，又弹回来一点，在考虑损耗的情况下最终停止在平衡位置。这样显然很复杂，所以物理上考虑轻质弹簧作为近似。关键是，轻质弹簧的质量效应是怎么忽略的。如果是考虑动力学的忽略，那么你的答案是对的，但这个时候就不能指望弹簧还能满足胡克定律。如果认为是在考虑弹簧的动能的时候可以忽略弹簧质量，而弹簧还是满足胡克定律的，此时在动力学上就不能认为弹簧质量为零，那么老师的做法就对了。实际上，老师的做法更加合理一些。
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不过我现在想来老师的做法也未必有多合理，只是思路比较常规而已，呵呵。
老师的做法算出来的数比你大，是因为你的做法中拉升弹簧做的功(F*x)完全转化成了弹簧的势能。而老师的做法中只有一半给了弹簧，另一半给了木块。你算一下，木块动能的差值正好等于kx^2/2。就是说拉升过程做的功也不断输送给了木块。这个过程显然不能用动力学解释，这是也忽略弹簧质量带来的一个矛盾之处。其实在这里忽略质量必然会产生矛盾，所以关键还是看忽略是怎么体现的，忽略得合不合理。