映射数学定义

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在数学中，映射是一种描述两个集合元素之间特定对应关系的重要概念。它起源于集合论，最初是为了解决从一个非空集合A到另一个非空集合B的元素一对一或多对一的对应问题。如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，都有B中的唯一元素b与其对应，那么称f为从A到B的映射，记作f：A→B。

映射的性质被广泛应用于不同数学领域，如拓扑学中的连续函数和线性代数中的线性变换，它们都具有特定的性质。如果我们将函数的定义扩展到任意元素的集合，映射的概念就更为普遍，它不仅仅局限于数集之间的映射，还涵盖了更广泛的集合结构。

例如，映射可以表现为:

A={1,2,3,4}到B={3,5,7,9}，通过“乘2加1”的对应关系。
A=N*到B={0,1}，通过“x除以2的余数”来确定对应。
A={x|x是三角形}到B={y|y>0}，通过计算面积建立对应。
A=R到B={直线上的点}，通过数轴对应。
A={P|P是直角坐标系中的点}到B={(x,y)|x∈R,y∈R}，通过平面直角坐标系对应。

值得注意的是，映射与函数之间有区别，函数是特定类型的映射，即双射，意味着集合A中的每个元素在B中都有且仅有一个对应元素，反之亦然。而一般的映射可能不是一对一或多对一的关系，如图1所示的对应就不符合映射的定义，其他三图则符合映射的条件。

总的来说，映射是数学中一种基础的结构，它定义了元素之间的对应关系，是理解更高级数学概念的基础。

扩展资料

通常情况下，映射一词有照射的含义，是一个动词。在数学上，映射则是个术语，指两个元素集之间元素相互“对应”的关系，名词；也指“形成对应关系”这一个动作，动词。