数学建模常用算法——传染病模型（一）SI模型

Answer 1

数学建模常用算法——传染病模型（一）SI模型详解

尽管我们通常专注于算法的话题，但考虑到近期同学们在传染病传播问题上的需求，今天我们将探索一下传染病模型。这些模型旨在分析疾病的传播速度、范围和动力学机制，以支持防控策略的制定。

常见的传染病模型包括SI、SIS、SIR、SIRS和SEIR模型。其中，"S"代表易感者，即没有免疫力的健康人，"E"表示暴露者，接触过感染者但尚未具备传染性的阶段，"I"指患病者，具有传染性，而"R"是康复者，可能有终身或有限的免疫力。通过这些群体的交互，构建出各种复杂的模型。

特别地，SI模型适用于如T病毒这类不会复发的疾病，假设中，易感者一旦与患病者接触即感染，无潜伏期、治愈和免疫力恢复。模型以一天为时间单位，总人数N保持稳定，用s(t)和i(t)分别表示易感者和患病者比例，S(t)和I(t)代表实际人数。初始时，s0和i0是初始比例，每位患病者日接触的易感者平均数为λ。

根据这些假设，SI模型的微分方程为 N*di(t)/dt=λ*s(t)*N*i(t)，简化后为 di(t)/dt=λ*(1-i(t))*i(t) ，初始条件为 i(0)=i0。通过Logistic模型，我们可以得到患病人数I(t)=N*i(t)的表达式。模型预测，当时间趋向无限大，患病者占比i将趋近1；患病者数量达到最大值时，即I(t) = N/2，增长速度最快。此时，可通过公式计算出达到这个状态所需时间tm，这对于医疗系统预估疫情高峰至关重要。