卡尔曼滤波(Kalman filter) 含详细数学推导

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卡尔曼滤波器是一种状态估计器，它通过融合传感器和信息来提升系统精度。在观测系统状态时，通常有两种方法：一种是通过状态转移方程，结合上一时刻的状态预测下一时刻的状态；另一种是借助辅助系统（如量测系统）的测量来获取系统状态。这两种方法都存在不确定性，卡尔曼滤波通过加权平均这两种方法，使估计状态的不确定性小于任何一种单独方法。

以观测一辆小车的速度和位置为例，状态为速度和位置，即状态向量。根据状态转移方程，如果速度不变，下一时刻的状态可以通过当前状态和速度变化量计算得到。同时，小车受到外界干扰，如轮胎打滑、地面崎岖等，导致状态转移过程中混入不可测量的噪音干扰。这种噪音服从零均值的高斯分布。因此，状态转移方程可以重写为考虑噪音干扰的形式。

除了状态转移方程，我们还可以通过辅助系统（如GPS）获取系统状态的观测值。观测值与真实状态之间的关系可以通过观测模型表示，其中观测噪声也是服从0均值的高斯分布的。比较这两种方式得到的系统状态，状态转移方程得到的系统状态在演变过程中会非常平滑，但不确定度会逐渐增大；而由量测系统得到的状态不存在累积误差，但演变时很不平滑。因此，需要将这两种方式得到的状态有效结合起来，这就是卡尔曼滤波所做的工作。

利用建立的模型，对于k-1时刻的系统估计值，利用状态转移方程得到预测状态。然后计算测量残差，即实际观测值与预测值的偏差。通过卡尔曼增益来更新估计状态，使其均方误差达到最小。最后，用更新后的状态值和协方差矩阵作为下一时刻的状态值，继续迭代。

补充内容中，解释了[公式]这种简写方式，以及为什么可以将其化为[公式]。同时，说明了协方差矩阵代表的不确定度不具有正负号，不会因加减而抵消。