偏微分方程笔记(2)Laplace(位势)方程的基本解

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偏微分方程笔记(2)——Laplace(位势)方程的基本解析/
让我们深入探讨Laplace方程的魅力，这一基础且重要的数学工具，它在物理学中扮演着至关重要的角色。在L.C. Evans的《Partial Differential Equations》第二版中，我们能找到它的详细定义和核心概念。接下来的内容将带您走进Laplace方程的数学世界，以及它的基本解。
首先，让我们定义一下Laplace方程，它是位势方程的一种，其形式为:
在开集 中，未知函数u满足 /
这里的Poisson方程与之紧密相关，但今天我们主要聚焦于Laplace方程。一个关键的概念是调和函数，它满足
从物理角度看，Laplace方程有其直观的解释，但这里暂且不展开。为了更好地理解，我们会在后续章节中回顾Green公式、Gauss公式和散度定理等数学工具，以辅助理解。
在探索Laplace方程的解法时，基本解（fundamental solution）的发现至关重要。由于方程的线性性质，我们可以通过寻找特解来构造一般解。Laplace方程具有旋转不变性，这意味着对于正交变换，解的性质保持不变。因此，我们从寻找具有放射状（radial）特性的函数着手，即寻找具有形式 的解。
接下来，我们将遇到Laplace方程的基本解——函数 。定义为:
对于 ，如果 /
基本解的性质和估计为我们提供了宝贵的线索，尤其是在处理Poisson方程时。我们发现，通过卷积式的形式似乎可以解决Laplace方程，但需要注意，对于奇点，这种直接的求积方法是不适用的。
为了深入解析，我们回顾数学分析中的概念。在处理边界问题时，单位法向量场和法向导数是不可或缺的工具。让我们定义:
单位法向量场: 当时，定义为沿 的单位外法向量场。/
而法向导数则定义为...（具体公式省略）
在解决Poisson方程时，定理1.2提供了关键的解法:
对于u定义在式(4)中，我们有:
（1）
（2）
证明过程包括利用连续性和积分性质，以及调和函数的特性，我们略去细节，留给读者自行探索。
最后，我们再次强调，后续的文章将深入探讨Green公式、Gauss公式和散度定理等数学工具，以及调和函数的更深层次性质。让我们共同期待下一次的数学之旅。
同时，祝7月29日那位特别的男生生日快乐，愿他的人生如数学般充满智慧与魅力！