高中物理竞赛平衡问题

Question

半径为r的半圆柱对称地放在一个半径为R的圆柱面顶部，假设半圆柱与圆柱面间的摩擦足够大，半圆柱的中心在其对称轴上，且离顶点的距离为d，为了阻止半圆柱下滑，试求物体稳定平衡的条件。

希望各位大神多多帮忙，求过程，求解释！

Answer 1

   

首先说平衡条件：当半圆柱倾斜a角时，必须有一个恢复力距让它回到平衡点，这个力距只能以重力产生，你只要算一下两个物体接触点的力距和就可以知道  重力是这个力距和唯一不为零的力距。这时候你需要观察，平衡的条件是什么？是当半圆柱倾斜时，有一个反方向的力距能把它拉回去，而什么条件能产生反方向的力距？同过接触点的力距和可以知道，只有重心在接触点的右边才可以。也就是说平衡条件为l2<l1.

平衡条件知道后就好做拉，只要找出l1和l2的表达式，带入平衡条件就可以了.你自己应该就会解，我可以把公式打给你，不过如果你几何功力不够的话也看不懂.

因为半圆柱是滚动，所以角a和角b的关系式为: a*r=b*R

然后算l1很简单: l1=R*sin(b)

l2就比较复杂，我是用2个坐标系来做的，一个是水平坐标系，一个是旋转a角后的坐标系。总之结论为: l2=(R+r)*sin(b)-d*sin(a)

所以: (R+r)*sin(b)-d*sin(a)<R*sin(b)

化减后为: r*sin(a*r/R)<d*sin(a)

如果说干扰比较小的话，你可以把他线性化，也就是说sin（x)=x

r*a*r/R<d*a

所以平衡条件为d>r^2/R

Answer 2

lz==有图

由题，当有微小扰动，只要上半圆柱的重心上升就是稳定平衡。

设两圆柱接触点有一微小位移dx

由于摩擦力大，所以无相对滑动，如图设该位移（可看成一段小圆弧）在上下半圆柱分别对应的小角度dA，dB

RdB=rdA

圆柱重心到底部的距离d=4r/3(pie) cos(dA)=1-(dA)^2/2

要求(r+R)dB-(dA+dB)(4r/3(pie))=(r+R)(1-(dB)^2/2)-(1-(dA)^2/2+1-(dB)^2/2)(4r/3(pie))

>(r+R)-4r/3(pie)

得(4r/3(pie))((dA)^2/2+(dB)^2/2)>(R+r)(dB)^2/2

约去得

(4r/3(pie))(R^2+r^2)>(r+R)r^2

解题思路就是这样，但是ms输入法有点问题，要是不懂的再问吧

Answer 3

楼上正解