求不定积分(1-sinx)/(cosx)^2 dx

Question

本人求的通过万能公式换元得到这样的积分结果-2/(tanx/2 +1) +c 貌似错了。。。郁闷的不知道错在哪里了，真心求教！

Answer 1

∫(1-sinx)/(cosx)^2 dx

=∫(sec²x-sinx/cos²x)dx
=tanx+∫1/cos²x dcosx
=tanx-1/cosx+c

追问

弱弱的问一下，你的结果跟我的等价吗？ 貌似我算的也没错。。。。

追答

你那个貌似错的。

tanx-1/cosx+c

=2tanx/2/(1-tan²x/2)-(1+tan²x/2)/(1-tan²x/2)+c
=-(tanx/2-1)²/(1-tan²x/2)+c
=(tanx/2-1)/(tanx/2+1)+c
应该是这个。

追问

将分母变为1-(sinx)^2 平方差约去1-sinx 变成对1/1+sinx dx 积分
设tanx/2=t 则x=2arctant dx=2/(1+t^2)dt sinx=2t/(1+t^2) 用t换成x 化简求 然后再还原 你看有问题吗？

追答

这样做是可以的，你再算算吧。

追问

[tan(x/2) - 1]/[tan(x/2) + 1]
= {[tan(x/2) + 1] - 2}/[tan(x/2) + 1]
= 1 - 2/[1 + tan(x/2)]
= - 2/[1 + tan(x/2)] + C
这是高手的解答，共同学习下吧。

追答

xie