设随机变量X和Y相互独立,且服从相同分布,则X+Y和X-Y必然( ) A 不独立 B 独立 c 相关系数为零 D 相关系数不

Question

D 相关系数不为零

Answer 1

A肯定不对，你设X=Y=0即可
B你可以设X=Y~B(1,p)，计算P(X+Y≤0.5,X-Y≤0.5)=(1-p²)，
但是P(X+Y≤0.5)P(X-Y≤0.5)=(1-p)²(1-(1-p)p)，两者不等∴不独立∴B错
C对，∵独立∴E(XY)=E(X)E(Y)∴相关系数=0
D错，依然考查B的例子即可

追问

不是很懂，尤其是B选项的解答，运算感到有点迷茫

追答

B(1,p)就是两点分布，P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，

∵X、Y独立

∴P(X+Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=(1-p)²，
P(X+Y=1)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)=2p(1-p)，
P(X+Y=2)=P(X=1)P(Y=1)=p²
——————————————
P(X-Y=-1)=P(X=0)P(Y=1)=p(1-p)，
P(X-Y=0)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)=p²+(1-p)²，
P(X-Y=1)=P(X=1)P(Y=0)=p(1-p)

∴P(X+Y≤0.5,X-Y≤0.5)=P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=(1-p²)，
P(X+Y≤0.5)P(X-Y≤0.5)=P(X+Y=0)[1-P(X-Y=1)]=(1-p)²(1-(1-p)p)

∴P(X+Y≤0.5,X-Y≤0.5)≠P(X+Y≤0.5)P(X-Y≤0.5)
∴X+Y与X-Y不独立

追问

求大神验证C……我是概率论学渣啊，莫嫌弃

追答

相关系数就是σxy/σxσy，其中σxy=Cov(X,Y)，σx是x的标准差，σy是y的标准差
Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-E(X)E(Y)
这样解释能明白否……？