设f(x)在[0,1]上有连续的一阶导数，且｜f'(x)｜≤M，f(0)=f(1)=0,证明：

Answer 1

目前的条件可以证明到M/4。

设g(x) = ∫<0,x> f(t)dt, 则g'(x) = f(x), g"(x) = f'(x)。取f(x) = 1-(2x-1)^(1+1/(2n)), 可取M = (2n+1)/n, 但∫<0,1>f(x)dx = 1-1/(2+1/(2n))=(2n+1)/(4n+1)。由此例可知, M/4已经是最好的可能。

函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。

符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数。

Answer 2

好像条件不够, 或者结论写错了?
例如f(x) = x-x², |f'(x)| = |1-2x| ≤ 1, ∫<0,1>f(x)dx = 1/6.

目前的条件可以证明到M/4.
设g(x) = ∫<0,x> f(t)dt, 则g'(x) = f(x), g"(x) = f'(x).
g(x)在[0,1]二阶连续可导, 且g(0) = 0, g'(0) = f(0) = 0.
使用带Lagrange余项的Taylor展开, 得存在s∈(0,1/2)使
g(1/2) = g(0)+g'(0)(1/2)+g"(s)(1/2)²/2 = f'(s)/8.
又设h(x) = ∫<1-x,1> f(t)dt, 则h'(x) = f(1-x), h"(x) = -f'(1-x).
h(x)在[0,1]二阶连续可导, 且h(0) = 0, h'(0) = f(1) = 0.
存在t∈(0,1/2)使h(1/2) = h(0)+h'(0)(1/2)+h"(t)(1/2)²/2 = -f'(1-t)/8.

|∫<0,1> f(t)dt| ≤ |g(1/2)|+|h(1/2)| = (|f'(s)|+|f'(1-t)|)/8 ≤ M/4.

取f(x) = 1-(2x-1)^(1+1/(2n)), 可取M = (2n+1)/n, 但∫<0,1>f(x)dx = 1-1/(2+1/(2n))=(2n+1)/(4n+1).
由此例可知, M/4已经是最好的可能.

Answer 3

题目有误，积分的上界为M/4。
例子：f(x) = Mx,当0<x<1/2;f(x) = M(1-x)，当1/2 < x < 1
这个函数的图像是底为1，高为M/2的腰梯形，面积为M/4达到上界。
将上述函数进行光滑化，知上界不可改进。

证明就是朝着上面这个例子努力，也很简单。分两部分估计：
|∫[0,1] f(x) dx | <= |∫ [0,1/2] f(x)dx | + | ∫[1/2,1] f(x)dx|
在[0,1/2]上，∵|f'(x)| <= M，f(0) = 0
∴|f(x)| = |f(x) - f(0)| <= M|x|，
∴|∫ [0,1/2] f(x)dx |<=∫ [0,1/2] |f(x)|dx <= M∫ [0,1/2] xdx = M/8
同理，[1/2,1]上有
|f(x)| <= M|1-x|，
∴|∫ [1/2,1] f(x)dx | <= ∫ [1/2,1] |f(x)|dx <=M∫ [1/2,1] |1-x|dx = M/8
两个不等式相加得M/4