∫dx/√[(x-1)^3 (x-2)]

Answer 1

你好

令x=2+sec²u=1+tan²u，dx=2secu*secu*tanudu=2sec²u*tanudu，
sec²u=x-2
1/cos²u=x-2
cos²u=1/（x-2）
1-sin²u=1/（x-2）
sin²u=1-1/（x-2）=（x-3）/（x-2）
sinu=√（x-3）/（x-2）

∫dx/√[(x-1)^3 (x-2)]
=∫2sec²u*tanudu/[（tanu）^3* secu]
=∫2cosu/sin²udu
=2∫1/sin²udsinu
=-2/sinu
=-2√[（x-2）/（x-3）]

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追问

答案是2√[（x-2）/（x-1）] + C 我看懂了 你们过程 但为什么和答案不一样 而且。。。是怎么想到 三角代换这个的 呀？

追答

令x=1+sec²u=2+tan²u，dx=2secu*secu*tanudu=2sec²u*tanudu，
sec²u=x-1
1/cos²u=x-1
cos²u=1/（x-1）
1-sin²u=1/（x-1）
sin²u=1-1/（x-2）=（x-2）/（x-1）
sinu=√（x-2）/（x-1）

∫dx/√[(x-1)^3 (x-2)]
=∫2sec²u*tanudu/[（secu）^3* tanu ]
=∫2cosudu
=2sinu+C
=2√[（x-2）/（x-1）] + C

三角代换是解这类问题的常用方法