已知斜率为k（k≠0）的直线l过抛物线C：y2=4x的焦点F且交抛物线于A、B两点．设线段AB的中点为M．

Question

已知斜率为k（k≠0）的直线l过抛物线C：y2=4x的焦点F且交抛物线于A、B两点．设线段AB的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若-2＜k＜-1时，点M到直线l'：3x+4y-m=0（m为常数，m＜
13）的距离总不小于
15，求m的取值范围．

Answer 1

存在。
直线L：Y = K（x +1）（k≠0时）
同时Y = K（X +1），Y，2 = 4倍。删除x。 ?2-4Y / K +4 = 0
Δ= 16 / K 2 -16> 0。解决K 2 <1且k≠0
由韦达定理：Y1 + Y2 = 4 / K。 Y1Y2 = 4
集A（Y1 2/4，Y1），B（Y2，Y2 2/4），Q（Y 2/4，Y）
向量QA = [（Y1-Y 2）/ 4，Y1-y）的。矢量QB = [（Y2 2-Y 2）/ 4，Y2-Y]

因为QA⊥QB。
（Y1 2-Y 2）（Y2 2 - Y 2）/ 16 +（Y1-Y）（Y2-Y）= 0
（Y1-Y）（Y2-Y） [1 +（Y1 + Y）（Y2 + Y）/ 16] = 0
Y≠Y1，Y≠Y2
1 +（Y1 + Y）（Y2 + Y）/ 16 = 0 BR />
顺序为：Y Y / K 2 +4 +20 = 0
Δ= 16 / K 2 -80≥0。该解决方案K 2≤1/5
所以K的范围??内 - √5/5，0）∪（0，√5/5]

Answer 2

设A坐标是（x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)

y1^2=4x1
y2^2=4x2
(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)
k=(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)=4/(2y)=2/y
又焦点F坐标是（1，0）
故有k=(y-0)/(x-1)=2/y
即轨迹方程是y^2=2(x-1)
(2)M到直线L＇的距离是d=|3x+4y-m|/根号(9+16)=|3x+4y-m|/5>=15
-2<k<-1,即有-2<2/y<-1,即有-2<y<-1
x=y^2/2+1
d=|3y^2/2+3+4y-m|>=75
|3/2(y^2+8y/3+16/9)+1/3-m|>=75
|3/2(y+4/3)^2+1/3-m|>=75