初等变换解下列方程组 2x+3y+z=4 x-2y+4z=-5 3x+8y-2z=13 4x-y+9z=-6 线性代数题

Answer 1

增广矩阵 (A, b) =
[2 3 1 4]
[1 -2 4 -5]
[3 8 -2 13]
[4 -1 9 -6]
行初等变换为
[1 -2 4 -5]
[0 7 -7 14]
[0 14 -14 28]
[0 7 -7 14]
行初等变换为
[1 -2 4 -5]
[0 1 -1 2]
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]
r(A,b)=r(A)=2<3, 方程组有无穷多解。
方程组同解变形为
x-2y=-5-4z
y=2+z
取 z=0， 得特解 (x,y,z)^T = (-1, 2, 0)^T.
导出组即对应的齐次方程是
x-2y=-4z
y=z
取 z=1， 得基础解系 (-2, 1, 1)^T.
方程组通解是 (x,y,z)^T = (-1, 2, 0)^T +k(-2, 1, 1)^T.
其中k为任意常数。