线性代数Ax=b两边同乘一个奇异矩阵，解有没有可能变化？

Question

解有没有可能变？为什么。
万分感谢

Answer 1

奇异矩阵就是不可逆矩阵，所以方程解会变化，产生增根。只有同乘以非奇异矩阵才会和原方程同解。

追问

谢谢你的回答。我还有疑问：
那以前的解是不是一定成立，就是说新的解集是包含以前的？

追答

是的，包括以前的
n阶矩阵在矩阵加法和乘法下构成一个带单位元的有零因子非交换环。即AB=0不能推出A=0或B=0
如果设Ax-b=C,则原方程就是C=0的情况。但是若B行列式为0，BC=0，则不一定有C=0
看反例：
B=
1 1
0 0
C=(1，-1)^T
BC=0但C不等于零
楼主仔细体会下。矩阵乘法有零因子是问题本质。

Answer 2

你说的是左乘？那当然可能了。假设原来方程有唯一解，乘了之后，很有可能就有其他的不定解了。当然原来的解依然成立。

追问

谢谢你的回答。我还有疑问：
1 在这里左乘和右乘有什么区别吗？
2 如何证明原来的解必然成立？（实在不好证明的话怎么理解，就是得到这个结论的思路）

追答

对不起，我搞错了，应该是左乘，右乘就一数了，没有什么意义了。原来的解成立显然啊？
设v是方程组的解，即Av=b，那么左乘一任意的矩阵K，等式依然成立，即KAv=Kb，说明v也为新的方程组KAx = Kb的解。