求高人解惑

Question

证∶1.﹙A∪B﹚∩﹙C∪D﹚≠﹙A∪C﹚∩﹙B∪D﹚
2.﹙A∩B﹚∪﹙C∩D﹚≠﹙A∩C﹚∪﹙B∩D﹚ 用数学语言
A,B,C,D，两两线性无关

Answer 1

很少见≠的证明，感觉应该不会太难，标记一下，有时间再看。

追问

我自己做出来，你解出来还给你分，说话算话，额，式子太长，你简化证吧，呵呵，这是北大高数书上的问题延拓。。。

追答

命题似乎并不正确，你没抄错？反例如下：
假设 A＝{1,0}, B＝{2,0}, C＝{3,0}, D＝{4,0}
则：﹙A∪B﹚∩﹙C∪D﹚＝{0}
﹙A∪C﹚∩﹙B∪D﹚＝{0}
于是：﹙A∪B﹚∩﹙C∪D﹚＝﹙A∪C﹚∩﹙B∪D﹚
把上面的放到第二命题结果也一样，所以两个命题都是错的。

当然如果要找一个原命成立的例子也有：
A＝{1,5,0}, B＝{2,0}, C＝{3,5,0}, D＝{4,0}
则：﹙A∪B﹚∩﹙C∪D﹚＝{5,0}
﹙A∪C﹚∩﹙B∪D﹚＝{0}
于是：﹙A∪B﹚∩﹙C∪D﹚≠﹙A∪C﹚∩﹙B∪D﹚

之前给的条件是A≠B≠C≠D，现在又变成线性无关，集合之间有线性无关一说么？

追问

无聊想找个人论战，数学语言不是举例子，看我强词夺理，你找错误啊，我的命题是正确的，我如果这样证。。。。首先要证A∪﹙B∩C﹚=﹙A∪B﹚∩﹙A∪C﹚ ﹙ 课本题不解释﹚，再证∶﹙A∪B﹚∩﹙C∪D﹚化开就得到若要它等于后一个那么就有B∪D=C∪D,B∩D=C∩D那么我就敢证B∪D=C∪D,B∩D=C∩D成立
证∶若取定D，则要想上式恒成立则必有B=D，又由题意后的补给条件证得左右两式不等。

追答

数学命题是严格的逻辑，你的命题可以有两种形式，但真假截然不同。
1、存在A≠B≠C≠D，满足﹙A∪B﹚∩﹙C∪D﹚≠﹙A∪C﹚∩﹙B∪D﹚，真命题。
2、对于任意A≠B≠C≠D，满足﹙A∪B﹚∩﹙C∪D﹚≠﹙A∪C﹚∩﹙B∪D﹚，假命题。
对于存在性命题的证明，只需找到一个正例即可，同样，对于假命题的证明，也只需要找到一个反例即可。
对于假命题，无论你怎么推理，你都不可能证明它是真命题，除非引用错误的前提或错误的结论。