积分中值定理里中值点为什么可以取到端点？

Question

我在高数书上看到的是用介值定理证明的（同济第六版）但是介值定理里的那个中值点取值范围实在开区间的，这不矛盾了么 ，为什么？还有 中值点什么时候取到端点？？

Answer 1

介值定理也是有闭区间版本的, 比如下面这样:
设f(x)在[a,b]连续, 若t满足f(a) ≤ t ≤ f(b), 则存在c ∈ [a,b], 使f(c) = t.
通常的积分第一中值定理的证明, 本质上是使用的这个版本.
因为使用时的条件是: f的最小值 ≤ 积分均值 ≤ f的最大值, 不是严格的不等号.

实际上, 开区间版本的积分第一中值定理也是成立的 (建议自己试着证明一下).
但这与闭区间版本的积分第一中值定理并不矛盾,
因为c ∈ (a,b)可以推出c ∈ [a,b], 所以这只是一种加强.

中值点一般是不唯一的, 所以有时端点也可以是取到中值.
最简单的例子是f(x)为常数函数, 所有点都取中值.
又比如f(x) = sin(x)在[-π,π]的积分, 在-π, 0, π处取得中值.

追问

那么如果存在某道题明确说明不是常值函数的时候这个定理的等号不就不能用了么？？

追答

理清以下几点:
(1) 开区间版本的积分中值定理是成立的, 即存在c ∈ (a,b)取得积分中值.
但是这并不排除在端点也取得积分中值的可能性, 因为取得积分中值的点通常不唯一.
即便不是常值函数也一样, 例如上面sin(x)的例子.

(2) 闭区间版本的中值定理仍然是正确的, 只是比开区间版本的中值定理稍弱一点.
因为中值定理的结论是存在c ∈ [a,b]取得积分中值.
只要c存在即可, 和c在不在端点无关.

(3) 使用中值定理的题目, 是为了找到一个c, 使某个等式成立.
重要的是c的存在性, 而不太关心c具体在哪里(当然通常会要求在某个区间里).
不清楚你所说的"等号不能用"是指什么?

(4) 如果题目中要求的区间是开区间, 有可能不适用闭区间版本的中值定理.
但这不是因为中值定理不成立, 而是因为其结论不够强.
而且很多时候可以稍加转换, 变成可以使用的情形.

追问

　　是这样的，有一道题的答案说一个函数的导函数小于零（在某个闭区间里），

也就是说

然后说

我就是想知道这个能取到等号么？想来想去闭区间也就积分中值定理能用，根据积分中值定理能证明这个，所以就用了他，但是我就想不通等号怎么能取到。



追答

这里是不能取得等号的, 可以用开区间版本的中值定理证明:
因为f'(x) 0, 则∫{a,b} f(x)dx > 0.
(其实条件可以放宽为f(x)在[a,b]可积, 不过证明要困难不少).

Answer 2

　　不管是微分中值定理还是积分中值定理，中值点取在开区间是定理保证的（中值点也并不是唯一的）。但并不排除区间端点也可取作中值点的情形，比如常数函数，区间上的任何点都可作为中值点。