讨论函数f（x）＝ax+1/x+2（a≠1/2）在（﹣2，正无穷）上的单调性

Question

要具体过程谢谢

Answer 1

f（x）＝ax+1/x+2（a≠1/2）
=[a(x+2)-2a+1]/(x+2)
=a+(1-2a)/(x+2)
将y=(1-2a)/x图像向左平移2个单位，再向上(下）平移|a|得到f(x)图像

当a>1/2时，1-2a<0 反比例函数 y=(1-2a)/x为(0,+∞)上的增函数
平移后f(x)=a+(1-2a)/(x+2) 在(-2,+∞)上为增函数

当a<1/2时，1-2a>0 反比例函数 y=(1-2a)/x为(0,+∞)上的减函数
平移后f(x)=a+(1-2a)/(x+2) 在(-2,+∞)上为减函数

Answer 2

f(x)=ax+1/x+2=a+(1-2a)/(x+2),
所以a<1/2时1-2a>0,
所以x增大,1-2a/x+2减小,f(x)是减函数,
当a>1/2时1-2a<0,f(x)是增函数.
或者用定义
假设-2<x1<x2
那么f(x2)-f(x1)=(2a-1)(x2-x1)/(x1+2)(X2+2)
这式子中三项的符号都大于0，只有2a-1的符号需要讨论
那么当a>1/2时，f(x2)>f(x1)，那就是单调增
当a<1/2时，f(x2)<f(x1)，那就是单调减．

Answer 3

他的单调性和（ax+1）（x+2）一样，两个根，-1/a和-2，然后将-1/a分类讨论，先是他大于-2然后是小于-2，因为不等于二分之一，所以不用考虑等于-2，然后就转为一元二次方程的单调性了，这个你应该能解吧，至于为什么和（ax+1）（x+2）单调性一样，可以从负负得正，正负为负，正正得正考虑，时间关系，还有不明白先采纳再追问好吗