三角形ABC中，角BAC＝80°，角ABC＝60°，D为三角形内一点，且角DAB＝10°，角DBA＝20°，求角ACD的度数。

Question

我上初一，拜托各位达人用初中几何的方法解答，听老师说要做8、9条辅助线，谢谢！

Answer 1

嗯......正弦定理算不算初中平几知识呀，我写一个用到一点正弦定理的证明。嗯......这个不需要解三角方程，没有复杂的三角恒等变换。
首先作出三角形ABD的外心O'和三角形ABC的外心O，下面为我们来证明C，O，D是共线的三点。连结O'D,O'O,OD,接下来要计算一些角的度数。
在三角形ABD中O'是它的外心，因为这个三角形的三个角的度数都是已知的，很容易可以知道：
三角形O'AB是等边三角形，所以有O'A=O'B=AB，而且由O'是外心知道O'D=O'A=O'B=AB,角DO'A=40度，角O'DA=角O'AD=70度，所以O'D/AD=sinO'AD/sinDO'A=sin70/sin40 (1)
然后由于O是三角形ABC的外心，同样的三角形ABC的三个角都是已知的，所以可以知道角OAB=角OBA=50度，角AOB=80度。由对称性可以知道，角AO'O=角BO'O=30度，角AOO'=角BOO'=40度，所以在三角形O'AO中，OO'/O'A=OO'/AB=sinO'AO/sinAOO'=sin110/sin40=sin70/sin40 (2)
注意到角DO'O=角BAD=10度 (3)
由(1)(2)(3)知道
三角形OO'D和三角形BAD是相似的，所以角O'OD=角ABD=20度，所以角AOD=角O'OD+角AOO'=60度，因为角AOC=120度，所以角DOC=180度，所以C,O,D三点共线，所以角ACD=角ACO=30度。

Answer 2

如果你知道三角形的正弦定理，可以这么算
设角ACD为x，角BCD为y，x+y=40
在三角形ACD中
sin70/CD=sinx/AD (1)
在三角形BCD中
sin40/CD=siny/BD (2)
(1)(2)两式子相除消掉CD，得到
sin70/sin40=(sinx/siny)(BD/AD)
在三角形ABD中
BD/AD=sin10/sin20 代入上式
sin70/sin40=(sinx/siny)(sin10/sin20)
cos20/(2sin20cos20)=(sinx/siny)(sin10/(2sin10cos10))
1/sin20=(sinx/siny)/cos10
sinx/siny=cos10/sin20=1/2sin10
sinx/sin(40-x)=1/2sin10 现在解这个方程
2sinxsin10=sin(40-x)=sin40cosx-cos40sinx
即2sinxsin10=sin40cosx-cos40sinx 两端同时除以cosx
2tanxsin10=sin40-cos40tanx
tanx=sin40/(2sin10+cos40)
tanx=0.5sin40/（sin10+0.5cos40）
tanx=sin30sin40/(sin(40-30))+sin30cos40)
tanx=tan30
x=30

sinx/sin(40-x)=1/2sin10的另一种解法
sinxsin10=sin(40-x)sin30两边都用积化和差公式
cos(x-10)-cos(x+10)=cos(10-x)-cos(70-x)
cos(x+10)=cos(70-x)
x+10=70-x
x=30

就这些了 我实在是想不出更简单的了

Answer 3

你用平面几何cave定理的推论
角元cave定理

cave定理
AX，BY，CZ共点于D
则(BX/XC)(CY/YA)(AZ/ZB)=1
利用
BX/XC=面积ABX/面积XAC=ABsinBAX/ACsinCAX
代入

(sinBAX/sinXAC)(sinCBY/sinYBA)(sinACZ/sinZCB)=1

BAX＝10
XAC＝70
CBY＝40
YBA＝20
ACZ＝x
ZCB＝40－x

(sin10/sin70)(sin40/sin20)(sinx/sin40-x)=1

sin10sin40/sin20sin70=sin10(2sin20cos20)/sin20cos20=2sin10=sin10/sin30
所以x=30

Answer 4

20度: 连接CD 延长交AB与E 则角ADB=160度，在DC中点上找一点M 则AMB=80度 对应的角ACB=40度 所以CE应为角平分线 所以角ACD=20度

Answer 5

这个题目本身有错误，既然ABC是锐角三角形，D点就不可能在三角形ABC内。