物理竞赛题 从地球上正对月球发射一火箭,火箭恰好获得能到达月球的能量,问其后在何处火箭的速

Question

从地球上正对月球发射一火箭,火箭恰好获得能到达月球的能量.问其后在何处火箭的速度最小,并计算出火箭击中月球表面时的速度.月球的运动可以忽略,以下数据匀为已知:地球质量M地=6×10的24次方kg,地球半径R地=6.4×10的6次方m,月球的质量M月=7.3×10的22次方kg,月球半径R月=1.7×10的6次方m,地月距离s=3.8×10的8次方m,万有引力恒量G=6.67×10的负11次方N·m^2/kg^2.
答案是3.42*10^8和2.3*10^3

第一问 就是在何处火箭的速度最小 为什么不能用能量守恒 即设火箭离地心距离为L时,速度为v
E=1/2mv^2-G(M地)m/L-G(M月)m/(S-L) E不变
1/2mv^2=E+G(M地)m/L+G(M月)m/(S-L) ≥E+2根号G(M地)m/L*G(M月)m/(S-L)
G(M地)m/L=G(M月)m/(S-L)时等号成立 那L就和答案不一样了 为什么错了

不要复制的答案

Answer 1

解：分析，很简单，火箭速度最小一定是在地球与月亮引力“真空”点，在那里地球和月亮的引力相互抵消……过了那一点，月球引力占优势的时候，火箭会加速！

万有引力F=GMm/r²∝M/r²，所以，假设那个引力0点到月球的距离是r，则它到地球的距离是s-r，可列方程：Mm/r²=Me/(s-r)²，代入数据求解可得r≈3.7751×(10^7)m。

要到达这个点，这在地球发射的时候火箭必须拥有不小于G(Me)m/(s-r)的动能(不计算冲出大气层时的摩擦耗散的话，火箭拥有这么大的动能才可能在之后不用助推器的情况下到达地月引力平衡点)，假设在地球上火箭是以这么大的初动能升空，那么到达地月引力平衡点后火箭速度是0，之后月球引力做功，到达月球表面的速度v满足：0.5mv²=G(Mm)m/r，v²=2G(Mm)/r≈2×(2/3)×10^(-10)×7.3×(10^22)÷[3.7751×(10^7)]≈2.5783×(10^5)m²/s²，∴v≈507.7696965m/s。

注：为了计算方便，大多数时候，万有引力常数6.67×10^(-11)Nm²/Kg²可以写作(2/3)×10^(-10)Nm²/Kg²，方便计算中约分。。。

追问

第一问 就是在何处火箭的速度最小 为什么不能用能量守恒 即设火箭离地心距离为L时,速度为v
E=1/2mv^2-G(M地)m/L-G(M月)m/(S-L) E不变
1/2mv^2=E+G(M地)m/L+G(M月)m/(S-L) ≥E+2根号G(M地)m/L*G(M月)m/(S-L)
G(M地)m/L=G(M月)m/(S-L)时等号成立 那L就和答案不一样了 为什么错了

追答

要注意的是在平衡位置即地球和月球对火箭引力相等时速度最小。可以为零，因为接下来月球引力可以使火箭加速靠近月球。

追问

这我当然知道 问的是上面的方法哪里错了

Answer 2

你错在乱用公式，也就是不注意公式的适用条件，你回去好好研究一下不等式定理A+B≥2根号A*B的适用条件吧，只有A、B乘积为定值时，当A=B时等号才成立。这个题A、B的乘积为定值吗？

Answer 3

太长了，看得眼都花了。