一个排列组合的疑问，求大神赐教，谢谢

Question

将工程分成了3堆，为什么是除以2的阶乘而不是3的阶乘呢，求大神赐教，谢谢
求人解答，谢谢了

Answer 1

要想知道为什么是除以2的全排列数而不是3的，首先得知道为什么要除。
　　我们现在要求的是“4项不同工程分成3组”的组合数。因为将4分为3组，结果只能是1、1、2.上式中的分子：C（4,2）·C（2,1）·C（1,1），很明显就是按照这种思路求解的，并且用了分步法：
　　第一步：先找2个一组的那2项工程；
　　第二步：再从剩余的2个工程中任选1个；
　　第三步：最后选择剩余的那1项工程；

　　我们要求的是组合数，而按照这样的分步法得到的结果，有一定的次序性。其中，包含2项工程的那一组，其本身的数量就不同于其他组，所以它可以很自然地从其他组中分离出来，那么就可以认为它是一个有固定次序的分组——次序性不就是为了从相同的对象中区分出个别对象而设的吗？
　　但1个一组的那2组，在结果中它们是没有（次序）区别的，所以计算公式中考虑了次序，就造成了重复计数。比如，假设这4项工程是A、B、C、D，那么：
　　｛AB、C、D｝和｛AB、D、C｝应该是同一种分组方案，但按照分子中的公式，它们却属于不同的结果。
　　因为造成重复的肯定都是1个一组的那2项工程，所以只需从这里面排除重复结果即可。方法就是消除后2步操作的次序性，即：除以2的全排列数。

　　从结果也可以看出，本题与第2、3步的操作无关，第1步的C（4，2）其实就是最后的结果。这是因为：当我们从4项工程中，选出了2个一组的那2项工程后，分组结果就已经唯一确定了。

追问

如果在其他问题中数目太大，我如何知道其中有哪些步骤是重复的呢？

追答

举个例子：
　　将10项不同的工程，分成4组，要求这4组分别包含1项、2项、3项和4项工程。求分组方法数。
　　显然，这也是个组合问题；并且可以用分步法轻松解决：
　　　　C（10,4）·C（6,3）·C（3,2）·C（1,1）；
　　无须考虑重复问题；因为我们分得的4组中，任何2组包含的数量都不同，所以它们本身就是有所区别的；而分步法带来的次序性，恰好对应了这种区别。所以，分步法得到的结果，与我们所求的分组结果，恰好相同。同样地，我们也可以这样分步解决：
　　　　C（10,1）·C（9,2）·C（7,3）·C（4,4）；
　　即先找1个一组的工程，最后找4个一组的工程；结果一样。
　　所以，对于这类问题，产生重复的只能是包含工程的数量相同的那些分组。在按分步法求解时，人为地为这些分组添加了次序；而在实际结果中，它们应该是没有任何区别的，所以只需在最后除以这些分组的个数的全排列数即可。
　　举个极端的例子：将上面的10项工程，分成10组，每组1项。显然正确结果只有1种分组方法。我们先按照分步法求解：
　　C（10,1）·C（9,1）·C（8,1）····C（1,1）＝10！；
　　再排除重复：因为10个分组都没有次序性，所以应该除以A（10，10）＝10！；
显然，最终结果还是1.