高等数学的一道求极限题目:为什么X趋近于0是,X-sinX=X^3/6,而不是sinX~X,从而等于X-X=0?

Question

我们学过等价无穷小的替换规则，当X趋近于0时，sinX~X，所以X-sinX=X-X=0.这个有什么错误？
为什么X趋近于0是,X-sinX=X^3/6？是怎么运用到泰勒公式展开式推导的？

Answer 1

你这个问题要这样回答：
如果没有其它得量参与变化，仅仅是x和sinx两个量，那么x→0lim(x-sinx)=x→0lim(x-x)=0并没有什么
错误；事实上，当x→0时,x-sinx确实等于0；关于这一点，可用数字计算得到确认：
0.1-sin0.1=0.1-0.0998=0.000167
0.01-sin0.01=0.01-0.00999=0.00000019
0.001-sin0.001=0.001-0.000999=0.000000002
如果除却x和sinx，还有别的量参与这一变化过程，就往往不能一下就用等价替换，如：
x→0lim(x-sinx)/x³ã€åˆ†å­å¦‚果用x替换sinx，分子变成常量0；而分母也→0，这时出现0/0的不定式，
其值不定】；故这时不能用x替换sinx；事实上，x→0lim(x-sinx)/x³=x→0lim(1-cosx)/(3x²)
=x→0lim(sinx)/(6x)=x→0lim(x/6x)=1/6；
你在提问中，x→0lim(x-sinx)=x→0lim(x³/6)，可能就是由于上述情况，其中还需考虑别的量的缘故；事实上，经过这样换算，其结果还是0，因为x→0lim(x-sinx)=x→0lim(x³/6)=0.

Answer 2

等价无穷小的相互替换只能应用在乘除法中不能应用在加减法中，所以你不能那么做。

Answer 3

你这些等号都不成立的,想用等价无穷小的替换规则，先弄明白这个规则到底什么意思，
sinx ~x
<=>
lim sinx / x = 1, x->0
----
后面的泰勒公式直接代进去就是了，但是也不是等号，只能是~

Answer 4

再算极限问题时，有加减号的不能用这种方法，乘除可以用。

追问

那我能否这样呢？先用极限的四则运算法则，lim(X->0)X-sinX=lim(X->0)X-lim(X->0)sinX,然后再用等价无穷小替换sinX为X。

追答

不可以