求经过点（2，2，1）和平面2x-y+z=0平行且与直线x-2/1=y-2/3=z-1/1垂直的平

Question

求经过点（2，2，1）和平面2x-y+z=0平行且与直线x-2/1=y-2/3=z-1/1垂直的平面方程

Answer 1

求经过点（2，2，1）和平面π: 2x-y+z=0平行且与直线L: (x-2)/1=(y-2)/3=(z-1)/1垂直的平
面方程；
解: 平面π: 2x-y+z=0的法向矢量n₁={2，-1，1}；直线L: (x-2)/1=(y-2)/3=(z-1)/1的方向矢量
n₂={1，3，1}；由于n₁•n₂=2×1-1×3+1×1=2-3+1=0，∴n₁⊥n₂，即平面π与直线L垂直。
故所求平面的方程为：2(x-2)-(y-2)+(z-1)=0，即2x-y+z-3=0为所求。

Answer 2

所求平面与直线(x-2)/1=(y-2)/3=(z-1)/1垂直,
所以它的法向量是该直线的方向向量a=(1,3,1),
a与平面M:2x-y+z=0的法向量b=(2,-1,1)垂直，
点P(2,2,1)不在平面M上，
所以所求平面方程是x-2+3(y-2)+z-1=0,即x+3y+z-9=0.