初中几何问题

Question

设点P是平行四边形ABCD内部一点，且角PBA＝角PDA，求证：角PAB＝角PCB

Answer 1

∵ABCD是平行四边形，∴DA∥＝CB。

将⊿PDA沿着AB平移，使DA边重合于CB，这时P点落在E点处，连接PE，如图。

∵BE∥＝AP，∴ABEP是平行四边形，∠PBA＝∠BPE，

∵⊿ECB≌⊿PDA，而∠PBA=∠PDA，∴∠ECB=∠PDA=∠PBA=∠BPE，

∴B、E、C、P四点共圆，得∠PEB=∠PCB

∵ABEP是平行四边形，∴∠PAB=∠PEB=∠PCB.。

Answer 2

证明：过点P作PE平行BC,与过点C作CE平行BP相交于E
所以四边形PBAE是平行四边形
所以角PBC=角PEC
BP=CE
角CPE=角PCB
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB=CD
角ABC=角ADC
AD平行BC
所以AD平行PE
所以角PDA=角DPE
因为角ABC=角PBA+角PBC
角ADC=角PDA+角PDC
角PBA=角PDA
所以角PBC=角PDC
所以角PDC=角PEC
所以D,P,C,E四点共圆
所以角CDE=角CPE
角DPE=角DCE
所以角CDE=角PCB
所以角PBA=角DCE
因为AB=DC（已证）
BP=CE（已证）
所以三角形PBA和三角形ECD全等（SAS)
所以角PAB=角CDE
所以角PAB=角PCB

追问

不用四点共圆能证吗？

追答

不用四点共圆不能证明

Answer 3

平移加四点共圆可做，如图：

 

追问

不用四点共圆能证吗？谢谢！

追答

变通一下，设PQ与BC的交点为点O，则易知△POB∽△COQ
∴OP/OC＝OB/OQ
∴OP/OB＝OC/OQ
∵∠POC＝∠BOQ
∴△POC∽△BOQ
∴∠PCO＝∠BQO
即∠PCB＝∠PQB＝∠PAB

Answer 4

因为在平行四边形的对角相等
所以∠ABC=∠ADC,AD平行于BC，AB平行于CD
因为∠B=∠D且∠PBA＝∠PDA
所以∠PDC=∠PBC
因为AD平行于BC，AB平行于CD
所以BC=CD
所以AB=AD,点A和点C在BD的垂直平分线上
所以∠PAB＝∠PCB

谢谢，有分么，弱智的题打字很是手软啊！
好吧，我是弱智