已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1

Question

1.求f（x）的解析式 2.在区间［-1，2］上求y=f（x）的值域求求求

Answer 1

答：
（1）设f(x)=ax^2+bx+c，f(0)=c=1
因为：f(x+1)-f(x)=2x
所以：a(x+1)^2+b(x+1)+c-(ax^2+bx+c)=2x
整理得：(2a-2)x+a+b=0
所以：
2a-2=0
a+b=0
解得：a=1，b=-1
所以：f(x)的解析式为f(x)=x^2-x+1

（2）y=f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4
函数对称轴x=1/2，开口向上，所以最小值为x=1/2时f(1/2)=3/4
f(-1)=1+1+1=3
f(2)=4-2+1=3
所以：y=f(x)的值域为[3/4，3]

Answer 2

设F(x)=ax^2+bx+c F(0)=1 => c=1
F(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c
F(x+1)-F(x)=2x
a(x^2+1+2x-x^2)+b=2x
2ax+a+b=2x 左右对应相等 2a=2 a+b=0
所以a=1 b=-1 则F(x)=x^2-x+1

Answer 3

解：有已知设f(x)=ax^2+bx+c

则f(x+1)=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)
由 f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x
得：a=1,a+b=0 ,解得b=-1
所以f(x)=x^2-x+c
又f(0)=1,得 c=1
综上，f(x)=x^2-x+1
(2)f'(x)=2x-1
令f'(x)=0,解得x=1/2
f(-1)=3,f(1/2)=1/4-1/2+1=3/4
f(2)=4-2+1=3
f(x)在[-1，2]的值域为[3/4，3]

Answer 4

（1）设f(x)=ax^2+bx+c，f(0)=c=1
f(x+1)-f(x)=2x <=> 2x=2ax a+b=0
解得：a=1，b=-1
所以：f(x)的解析式为f(x)=x^2-x+1
（2）y=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4
对称轴x=1/2，开口向上,最小值为f(1/2)=3/4
最大值为两端的较大值
f(-1)=1+1+1=3
f(2)=4-2+1=3
所以：y=f(x)的值域为[3/4，3]

Answer 5

①f(x)的解析式

假设：f(x) = ax² + bx + c，

由f(0) = 1得出：c = 1

由x=0代入 f(x+1) - f(x) = 2x 得到，f(1) - f(0) = 0，即 a + b + c - c = 0，即 a = -b

由f(x+1) - f(x) = 2x 得到，a(x+1)² + b(x+1) + c -(ax² + bx + c) = 2x，即 2ax + a + b = 2x

结合上述 2 和 3 得到，2ax + a + (-a) = 2x，即2ax = 2x，得到a = 1，

因为a = -b，所以b = -1。综上， f(x) = x²-x+1

②关于值域：

y = f(x) = x²-x+1 = (x-1/2)²+3/4 。

因为，(x-1/2)² ≥ 0，最小值=0。所以y的最小值=0+3/4。

因为在[-1,2]的区间里，所以(x-1/2)²的最大值为(2-1/2)² = 9/4，或者(-1-1/2)² = 9/4，所以y的最大值=9/4+3/4=3

所以y的值域 = [3/4,3]

Answer 6

1、
f(x)-f(x-1)=2(x-1)
f(x-1)-f(x-2)=2(x-2)
...
f(1)-f(0)=2*0

这些式子相加，得
f(x)-f(0)=2(0+1+2+,,,+x-1)=x(x-1)
所以f(x)=x^2-x+1
2、x=1/2时 y取最小值3/4
x=-1或x=2时 ，y同时取最大值3
所以y值域为[3/4,3]
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